Determine o quadrado do raio de giro: (a) de uma esfera de raio , girando em torno de um eixo que passa no centro de massa da esfera;

Passo 1

Então, temos uma esfera com raio que está girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. O objetivo aqui é determinar o quadrado do raio de giro dessa esfera. Vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e como ele se relaciona com o raio de giro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma esfera sólida girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro, a fórmula do momento de inércia é:
onde:
  • é a massa da esfera,
  • é o raio da esfera.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso ao raio de giro ( ). O raio de giro é definido pela relação:
Queremos encontrar , então podemos rearranjar a equação:

Passo 4

Substituindo o valor de que encontramos anteriormente:

Passo 5

Simplificando a expressão, o no numerador e no denominador se cancelam:

Resposta

O quadrado do raio de giro da esfera é .

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