Determine o quadrado do raio de giro: (a) de uma esfera de raio
, girando em torno de um eixo que passa no centro de massa da esfera;
Passo 1
Então, temos uma esfera com raio
que está girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. O objetivo aqui é determinar o quadrado do raio de giro dessa esfera. Vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e como ele se relaciona com o raio de giro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma esfera sólida girando em torno de um eixo que passa pelo seu centro, a fórmula do momento de inércia é:
onde:
-
é a massa da esfera, -
é o raio da esfera.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso ao raio de giro (
). O raio de giro é definido pela relação:
Queremos encontrar
, então podemos rearranjar a equação:
Passo 4
Substituindo o valor de
que encontramos anteriormente:
Passo 5
Simplificando a expressão, o
no numerador e no denominador se cancelam:
Resposta
O quadrado do raio de giro da esfera é
.