Um corpo rigido possui massa e a velocidade do centro de massa vale . A energia cinética do corpo vale 400 J e ele está girando em torno do centro de massa com velocidade angular igual a . Calcule o momento de inércia do corpo em relaçảo ao eixo de rotação em torno do centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem um corpo rígido com massa de e velocidade do centro de massa de . A energia cinética total é de 400 J e o corpo está girando com velocidade angular de . Nosso objetivo aqui é calcular o momento de inércia desse corpo em relação ao eixo de rotação no centro de massa.
Pra isso, vamos precisar entender como a energia cinética se divide entre o movimento de translação (quando o corpo se move de um lugar para outro) e o movimento de rotação (quando o corpo gira em torno de um eixo). Vamos usar algumas fórmulas básicas da mecânica para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética total ( ) de um corpo que está tanto se movendo quanto girando é a soma da energia cinética de translação ( ) e da energia cinética de rotação ( ):
Onde:
Aqui, representa o momento de inércia que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a energia cinética de translação usando a massa e a velocidade do centro de massa:
Agora sabemos que dos 400 J totais, 100 J vêm do movimento de translação.

Passo 4

A diferença entre a energia cinética total e a de translação nos dá a energia cinética de rotação:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da energia cinética de rotação para encontrar o momento de inércia :
Substituindo os valores que temos:

Resposta

O momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação no centro de massa é 6 kg·m².

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