Duas partículas cuja massa reduzida é interagem via uma energia potencial , onde é a distância entre elas. © Fazendo uma expansão em série de Taylor de em torno do ponto de equilíbrio e negligenciando todos os termos em e mais elevados, determine a frequência das pequenas oscilações próximas da órbita circular se as partículas forem perturbadas um pouco da separação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas com massa reduzida que interagem através de uma energia potencial , onde é a distância entre elas. A gente vai trabalhar com energia potencial efetiva e usar a expansão em série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio . Nosso objetivo é determinar a frequência das pequenas oscilações quando as partículas são levemente perturbadas da separação . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial efetiva, expansão de Taylor e movimento harmônico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial efetiva leva em conta não só a energia potencial da interação, mas também a energia cinética devido ao movimento angular das partículas. A expressão geral para a energia potencial efetiva é:
onde é o momento angular.

Passo 3

No ponto de equilíbrio , a força resultante é zero. Isso significa que a derivada da energia potencial efetiva em relação a deve ser zero:
Vamos calcular essa derivada:
Setando isso igual a zero em :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos expandir a energia potencial efetiva em uma série de Taylor ao redor de e considerar apenas até os termos quadráticos . A expansão fica:
Os termos lineares cancelam porque é o ponto de equilíbrio.

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada da energia potencial efetiva:
Sabendo que , e já sabemos que , substituímos:

Passo 6

A energia potencial efetiva aproximada fica então:
Isso se parece com a energia potencial de um oscilador harmônico, que é da forma . Comparando, temos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a frequência das pequenas oscilações é:

Resposta

A frequência das pequenas oscilações próximas da órbita circular é .

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