Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas com massa reduzida que interagem através de uma energia potencial , onde é a distância entre elas. A gente vai trabalhar com energia potencial efetiva e usar a expansão em série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio . Nosso objetivo é determinar a frequência das pequenas oscilações quando as partículas são levemente perturbadas da separação . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia potencial efetiva, expansão de Taylor e movimento harmônico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial efetiva leva em conta não só a energia potencial da interação, mas também a energia cinética devido ao movimento angular das partículas. A expressão geral para a energia potencial efetiva é:
onde é o momento angular.
Passo 3
No ponto de equilíbrio , a força resultante é zero. Isso significa que a derivada da energia potencial efetiva em relação a deve ser zero:
Vamos calcular essa derivada:
Setando isso igual a zero em :
Sabemos que , então:
Passo 4
Agora, vamos expandir a energia potencial efetiva em uma série de Taylor ao redor de e considerar apenas até os termos quadráticos . A expansão fica:
Os termos lineares cancelam porque é o ponto de equilíbrio.
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada da energia potencial efetiva:
Sabendo que , e já sabemos que , substituímos:
Passo 6
A energia potencial efetiva aproximada fica então:
Isso se parece com a energia potencial de um oscilador harmônico, que é da forma . Comparando, temos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a frequência das pequenas oscilações é:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações próximas da órbita circular é .
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 8.Problemas - Ex. 8.13c**ᄎ