Duas partículas cuja massa reduzida é interagem via uma energia potencial , onde é a distância entre elas. (b) Determine a separação de “equilíbrio” , a distância que as duas partículas podem circular uma a outra com constante . [Sugestão: isso requer que seja zero.]

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas partículas com uma massa reduzida que interagem através de uma energia potencial , onde é a distância entre elas. A parte (b) do exercício solicita que determinemos a separação de equilíbrio , ou seja, a distância na qual as duas partículas podem circular uma em torno da outra mantendo constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial efetiva e condições de equilíbrio, especificamente que a derivada da energia potencial efetiva em relação a seja zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a energia potencial efetiva ( ). Quando consideramos o movimento circular de partículas, além da energia potencial da interação, precisamos levar em conta a energia associada ao movimento circular, que é a energia centrífuga. A energia potencial efetiva é dada por:
Aqui, é o momento angular das partículas.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o ponto de equilíbrio, ou seja, o valor de para o qual a energia potencial efetiva está em mínimo. Para isso, tomamos a derivada de em relação a e igualamos a zero:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 4

Calculando a derivada de :
Derivando termo a termo:

Passo 5

Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de equilíbrio:
Vamos isolar os termos para resolver para .

Passo 6

Reorganizando a equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Isolando :
Agora, vamos extrair a raiz quarta para encontrar .

Passo 8

Calculando :
Simplificando:

Resposta

A separação de equilíbrio é dada por:

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