Duas partículas cuja massa reduzida é
interagem via uma energia potencial
, onde
é a distância entre elas. (b) Determine a separação de “equilíbrio”
, a distância que as duas partículas podem circular uma a outra com constante
. [Sugestão: isso requer que
seja zero.]
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas partículas com uma massa reduzida
que interagem através de uma energia potencial
, onde
é a distância entre elas. A parte (b) do exercício solicita que determinemos a separação de equilíbrio
, ou seja, a distância na qual as duas partículas podem circular uma em torno da outra mantendo
constante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial efetiva e condições de equilíbrio, especificamente que a derivada da energia potencial efetiva em relação a
seja zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a energia potencial efetiva (
). Quando consideramos o movimento circular de partículas, além da energia potencial da interação, precisamos levar em conta a energia associada ao movimento circular, que é a energia centrífuga. A energia potencial efetiva é dada por:
Aqui,
é o momento angular das partículas.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o ponto de equilíbrio, ou seja, o valor de
para o qual a energia potencial efetiva está em mínimo. Para isso, tomamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
Derivando termo a termo:
Passo 5
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de equilíbrio:
Vamos isolar os termos para resolver para
.
Passo 6
Reorganizando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Isolando
:
Agora, vamos extrair a raiz quarta para encontrar
.
Passo 8
Calculando
:
Simplificando:
Resposta
A separação de equilíbrio
é dada por: