Embora o tópico principal deste capítulo seja o movimento de duas partículas que não estão sujeitas a forças externas, muitas das ideias [por exemplo, a separação da Lagrangiana
em duas partes independentes
, como na Equação (8.31)] se estendem facilmente para situações mais gerais. Para ilustrar isso, considere o seguinte: duas massas
e
se movem em um campo gravitacional uniforme
e interagindo via energia potencial
.
(a) Mostre que a Lagrangiana pode ser decomposta como em (8.13).
(a) Mostre que a Lagrangiana pode ser decomposta como em (8.13).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas massas,
e
, que se movem em um campo gravitacional uniforme
e interagem através de uma energia potencial
. O objetivo é mostrar que a Lagrangiana do sistema pode ser decomposta da mesma forma que na equação (8.13), ou seja, separando-a em partes que dependem do movimento do centro de massa e do movimento relativo entre as duas massas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como coordenadas do centro de massa e coordenadas relativas, além da definição de Lagrangiana.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Lagrangiana. Em mecânica clássica, a Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
do sistema:
Para duas partículas, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas individuais:
E a energia potencial total inclui a energia potencial devido à interação entre as massas e a energia potencial devido ao campo gravitacional:
Passo 3
Agora, vamos introduzir as coordenadas do centro de massa
e as coordenadas relativas
:
Com essas definições, podemos expressar
e
em termos de
e
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas em relação ao tempo dessas expressões para obter as velocidades:
Agora, substituímos essas expressões na energia cinética total:
Expandindo os quadrados e simplificando, obtemos:
onde
é a massa reduzida.
Passo 5
Agora, vamos substituir as coordenadas na energia potencial. A energia potencial total é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Perceba que os termos que dependem de
se cancelam.
Passo 6
Agora, juntando as expressões de
e
na Lagrangiana:
Podemos observar que a Lagrangiana está separada em duas partes independentes:
onde
e
Resposta
A Lagrangiana pode ser decomposta da seguinte forma:
onde
representa a parte da Lagrangiana referente ao movimento do centro de massa, e
representa a parte referente ao movimento relativo entre as duas massas.