Embora o tópico principal deste capítulo seja o movimento de duas partículas que não estão sujeitas a forças externas, muitas das ideias [por exemplo, a separação da Lagrangiana em duas partes independentes , como na Equação (8.31)] se estendem facilmente para situações mais gerais. Para ilustrar isso, considere o seguinte: duas massas e se movem em um campo gravitacional uniforme e interagindo via energia potencial .
(a) Mostre que a Lagrangiana pode ser decomposta como em (8.13).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas massas, e , que se movem em um campo gravitacional uniforme e interagem através de uma energia potencial . O objetivo é mostrar que a Lagrangiana do sistema pode ser decomposta da mesma forma que na equação (8.13), ou seja, separando-a em partes que dependem do movimento do centro de massa e do movimento relativo entre as duas massas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, como coordenadas do centro de massa e coordenadas relativas, além da definição de Lagrangiana.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lagrangiana. Em mecânica clássica, a Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema:
Para duas partículas, a energia cinética total é a soma das energias cinéticas individuais:
E a energia potencial total inclui a energia potencial devido à interação entre as massas e a energia potencial devido ao campo gravitacional:

Passo 3

Agora, vamos introduzir as coordenadas do centro de massa e as coordenadas relativas :
Com essas definições, podemos expressar e em termos de e :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas em relação ao tempo dessas expressões para obter as velocidades:
Agora, substituímos essas expressões na energia cinética total:
Expandindo os quadrados e simplificando, obtemos:
onde é a massa reduzida.

Passo 5

Agora, vamos substituir as coordenadas na energia potencial. A energia potencial total é:
Substituindo e :
Simplificando:
Perceba que os termos que dependem de se cancelam.

Passo 6

Agora, juntando as expressões de e na Lagrangiana:
Podemos observar que a Lagrangiana está separada em duas partes independentes:
onde
e

Resposta

A Lagrangiana pode ser decomposta da seguinte forma:
onde representa a parte da Lagrangiana referente ao movimento do centro de massa, e representa a parte referente ao movimento relativo entre as duas massas.

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