As equações 7.25 e 7.26 mostram que
para um conjunto de moléculas de gás, o que acaba por ser verdade toda vez que as partículas têm uma distribuição de velocidades. Vamos explorar essa desigualdade para um gás de duas partículas. Considere a velocidade como sendo
, e a outra partícula como tendo velocidade
. (d) Sob qual condição específica será
para o gás de duas partículas?
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender qual é a pergunta. Temos um gás com duas partículas onde as velocidades são dadas por
e
. Queremos descobrir sob qual condição específica o valor quadrático médio das velocidades (
) será igual à velocidade média (
). Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar como calcular
e
e depois igualar esses dois valores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a velocidade média (
). Para um conjunto de partículas, a velocidade média é simplesmente a soma das velocidades dividida pelo número de partículas. Como temos duas partículas:
Substituindo as expressões dadas para
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade quadrática média (
). A
é definida como a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
Substituindo
e
:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a condição em que
. Então, vamos igualar as duas expressões:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Fatorando
:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
. Primeiro, expandimos
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver.
Passo 8
A equação quadrática
pode ser fatorada da seguinte forma:
Portanto, a solução é:
Resposta
A condição específica para que
é quando
.