As equações 7.25 e 7.26 mostram que para um conjunto de moléculas de gás, o que acaba por ser verdade toda vez que as partículas têm uma distribuição de velocidades. Vamos explorar essa desigualdade para um gás de duas partículas. Considere a velocidade como sendo , e a outra partícula como tendo velocidade . (d) Sob qual condição específica será para o gás de duas partículas?

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender qual é a pergunta. Temos um gás com duas partículas onde as velocidades são dadas por e . Queremos descobrir sob qual condição específica o valor quadrático médio das velocidades ( ) será igual à velocidade média ( ). Para resolver isso, a gente vai precisar lembrar como calcular e e depois igualar esses dois valores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a velocidade média ( ). Para um conjunto de partículas, a velocidade média é simplesmente a soma das velocidades dividida pelo número de partículas. Como temos duas partículas:
Substituindo as expressões dadas para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade quadrática média ( ). A é definida como a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades:
Substituindo e :

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a condição em que . Então, vamos igualar as duas expressões:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos no numerador:
Fatorando :
Podemos cancelar de ambos os lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar . Primeiro, expandimos :
Substituindo de volta:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 2:

Passo 7

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 8

A equação quadrática pode ser fatorada da seguinte forma:
Portanto, a solução é:

Resposta

A condição específica para que é quando .

Exercícios de Livros Relacionados