Uma estação espacial no formato rosquinha (raio externo ) é projetada para gravidade artificial por meio da sua rotação em torno do eixo da rosquinha, com velocidade angular . Esboce as forças sobre um astronauta e a aceleração do astronauta que esteja em pé na estação (a) vista a partir de um referencial inercial fora da estação e (b) visto no referencial em repouso do astronauta (que tem uma aceleração centrípeta conforme visto do referencial inercial). Que velocidade angular é necessária se metros e se a gravidade aparente for igual ao valor usual de aproximadamente ? © Qual é a diferença percentual entre o valor de sentido por um astronauta com seis pés de altura, entre seus pés ( ) e a sua cabeça ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma estação espacial em formato de rosquinha, que gira para criar gravidade artificial. Nosso objetivo é:
  1. Parte (a): Desenhar as forças agindo sobre um astronauta visto de fora da estação (referencial inercial).
  2. Parte (b): Fazer o mesmo, mas agora do ponto de vista do astronauta, que está em um referencial que está girando junto com a estação.
  3. Parte ©: Calcular qual a velocidade angular necessária para que a gravidade artificial seja igual à da Terra, dado que o raio externo da estação é de metros.
  4. Parte (d): Determinar a diferença percentual na gravidade sentida por um astronauta de seis pés de altura entre os seus pés ( metros) e a sua cabeça ( metros).
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, forças centrípetas e referenciais inerciais e não-inerciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Analisando as forças no referencial inercial
Primeiro, vamos entender o que acontece quando a estação espacial está girando.
  • Referencial Inercial: É um ponto de vista que não está acelerando, ou seja, observa a estação girando de fora.
Forças Agindo no Astronauta:
  1. Força Centrífuga ( ): É a força que parece empurrar o astronauta para fora, mas na verdade é devido à necessidade de manter o astronauta em movimento circular.
  2. Força Gravitacional Artificial ( ): Na verdade, não existe gravitacional, mas a sensação de gravidade vem da aceleração centrípeta.
Aceleração Centrífuga:
A aceleração centrípeta necessária para manter o astronauta em movimento circular é dada por:
Onde:
  • é a velocidade angular.
  • é o raio da estação.
Então, a força centrípeta que mantém o astronauta na trajetória circular é:
Onde é a massa do astronauta.

Passo 3

Parte (b): Analisando as forças no referencial do astronauta
Agora, vamos olhar do ponto de vista do astronauta, que está dentro da estação e sente a “gravidade” artificial.
  • Referencial Não-Inercial: Este referencial está acelerando devido à rotação da estação, então precisamos considerar forças fictícias.
Forças Agindo no Astronauta:
  1. Força Centrífuga ( ): Do ponto de vista do astronauta, ele sente uma força empurrando-o para fora da estação.
  2. Força Normal ( ): É a força que a superfície da estação exerce sobre o astronauta, equilibrando a força centrífuga para que ele não “voe” para fora.
Equilíbrio de Forças:
Para que o astronauta permaneça em pé, as forças devem estar em equilíbrio:
Isso cria a sensação de gravidade artificial equivalente a .

Passo 4

Parte ©: Calculando a velocidade angular necessária
Queremos que a gravidade artificial seja igual à da Terra ( ) na borda da estação ( ).
Usamos a fórmula da aceleração centrípeta:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:
Então, a velocidade angular necessária é de .

Resposta

A velocidade angular necessária para que a gravidade artificial na estação espacial seja igual à da Terra ( ) com um raio externo de metros é de .

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