Uma estação espacial no formato rosquinha (raio externo
) é projetada para gravidade artificial por meio da sua rotação em torno do eixo da rosquinha, com velocidade angular
. Esboce as forças sobre um astronauta e a aceleração do astronauta que esteja em pé na estação (a) vista a partir de um referencial inercial fora da estação e (b) visto no referencial em repouso do astronauta (que tem uma aceleração centrípeta
conforme visto do referencial inercial). Que velocidade angular é necessária se
metros e se a gravidade aparente for igual ao valor usual de aproximadamente
? © Qual é a diferença percentual entre o valor de
sentido por um astronauta com seis pés de altura, entre seus pés (
) e a sua cabeça
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma estação espacial em formato de rosquinha, que gira para criar gravidade artificial. Nosso objetivo é:
- Parte (a): Desenhar as forças agindo sobre um astronauta visto de fora da estação (referencial inercial).
- Parte (b): Fazer o mesmo, mas agora do ponto de vista do astronauta, que está em um referencial que está girando junto com a estação.
- Parte ©: Calcular qual a velocidade angular necessária para que a gravidade artificial seja igual à da Terra, dado que o raio externo da estação é de
metros. - Parte (d): Determinar a diferença percentual na gravidade sentida por um astronauta de seis pés de altura entre os seus pés (
metros) e a sua cabeça ( metros).
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, forças centrípetas e referenciais inerciais e não-inerciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Analisando as forças no referencial inercial
Primeiro, vamos entender o que acontece quando a estação espacial está girando.
- Referencial Inercial: É um ponto de vista que não está acelerando, ou seja, observa a estação girando de fora.
Forças Agindo no Astronauta:
-
Força Centrífuga (
): É a força que parece empurrar o astronauta para fora, mas na verdade é devido à necessidade de manter o astronauta em movimento circular. -
Força Gravitacional Artificial (
): Na verdade, não existe gravitacional, mas a sensação de gravidade vem da aceleração centrípeta.
Aceleração Centrífuga:
A aceleração centrípeta necessária para manter o astronauta em movimento circular é dada por:
Onde:
-
é a velocidade angular. -
é o raio da estação.
Então, a força centrípeta que mantém o astronauta na trajetória circular é:
Onde
é a massa do astronauta.
Passo 3
Parte (b): Analisando as forças no referencial do astronauta
Agora, vamos olhar do ponto de vista do astronauta, que está dentro da estação e sente a “gravidade” artificial.
- Referencial Não-Inercial: Este referencial está acelerando devido à rotação da estação, então precisamos considerar forças fictícias.
Forças Agindo no Astronauta:
-
Força Centrífuga (
): Do ponto de vista do astronauta, ele sente uma força empurrando-o para fora da estação. -
Força Normal (
): É a força que a superfície da estação exerce sobre o astronauta, equilibrando a força centrífuga para que ele não “voe” para fora.
Equilíbrio de Forças:
Para que o astronauta permaneça em pé, as forças devem estar em equilíbrio:
Isso cria a sensação de gravidade artificial equivalente a
.
Passo 4
Parte ©: Calculando a velocidade angular necessária
Queremos que a gravidade artificial seja igual à da Terra (
) na borda da estação (
).
Usamos a fórmula da aceleração centrípeta:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Então, a velocidade angular necessária é de
.
Resposta
A velocidade angular necessária para que a gravidade artificial na estação espacial seja igual à da Terra (
) com um raio externo de
metros é de
.