(a) Explique a relação (9.30) entre as derivadas de um vetor em dois referenciais e para o caso especial em que está fixo no referencial . (b) Faça o mesmo para o vetor que está fixo no referencial e compare com a sua resposta para o item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como as derivadas de um vetor se relacionam em dois referenciais diferentes, e . A matéria envolvida aqui é a cinemática de referenciais em movimento relativo, e vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores quando mudamos o referencial. Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o vetor está fixo no referencial .

Passo 2

Quando dizemos que o vetor está fixo no referencial , significa que ele não está mudando de direção ou magnitude em relação a esse referencial. Mas o que acontece quando observamos esse mesmo vetor a partir de outro referencial, , que pode estar se movendo em relação a ?
A relação (9.30) provavelmente expressa como a derivada temporal de em está relacionada à derivada em , levando em conta a rotação relativa entre os referenciais.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da derivada de um vetor em referenciais em rotação relativa. A derivada temporal de em ( ) é igual à derivada em ( ) mais o produto vetorial da velocidade angular relativa com o vetor :

Passo 4

No caso da parte (a), como está fixo em , a derivada de em é zero:
Então, substituindo na equação anterior:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, o vetor está fixo no referencial . Isso significa que a derivada de em é zero:
Usando novamente a relação (9.30):
Resolvendo para a derivada em :

Resposta

Em resumo, quando o vetor está fixo no referencial , a derivada de em é igual a . Já quando está fixo em , a derivada de em é igual a . Isso mostra como a velocidade angular relativa influencia a taxa de variação do vetor entre os dois referenciais.

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