(a) Explique a relação (9.30) entre as derivadas de um vetor
em dois referenciais
e
para o caso especial em que
está fixo no referencial
. (b) Faça o mesmo para o vetor
que está fixo no referencial
e compare com a sua resposta para o item (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como as derivadas de um vetor
se relacionam em dois referenciais diferentes,
e
. A matéria envolvida aqui é a cinemática de referenciais em movimento relativo, e vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores quando mudamos o referencial. Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o vetor
está fixo no referencial
.
Passo 2
Quando dizemos que o vetor
está fixo no referencial
, significa que ele não está mudando de direção ou magnitude em relação a esse referencial. Mas o que acontece quando observamos esse mesmo vetor a partir de outro referencial,
, que pode estar se movendo em relação a
?
A relação (9.30) provavelmente expressa como a derivada temporal de
em
está relacionada à derivada em
, levando em conta a rotação relativa entre os referenciais.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da derivada de um vetor em referenciais em rotação relativa. A derivada temporal de
em
(
) é igual à derivada em
(
) mais o produto vetorial da velocidade angular relativa
com o vetor
:
Passo 4
No caso da parte (a), como
está fixo em
, a derivada de
em
é zero:
Então, substituindo na equação anterior:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, o vetor
está fixo no referencial
. Isso significa que a derivada de
em
é zero:
Usando novamente a relação (9.30):
Resolvendo para a derivada em
:
Resposta
Em resumo, quando o vetor
está fixo no referencial
, a derivada de
em
é igual a
. Já quando
está fixo em
, a derivada de
em
é igual a
. Isso mostra como a velocidade angular relativa
influencia a taxa de variação do vetor
entre os dois referenciais.