Existem tres massas pontuais de mesmo valor dispostas nos vértices de um triảngulo equilátero. Cada massa vale , e o lado do triângulo vale . (a) Calcule o momento de inércia do sistema em relaçāo ao centro de massa do conjunto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente tem três massas iguais de posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero com lado de . A tarefa é calcular o momento de inércia desse sistema em relação ao centro de massa. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para sistemas de partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( ) de uma partícula em relação a um ponto é dado por , onde é a massa da partícula e é a distância dela até o ponto de rotação. Como temos três massas iguais, vamos calcular a distância de cada uma ao centro de massa do triângulo.

Passo 3

No triângulo equilátero, o centro de massa coincide com o centroid, que está localizado a uma distância de de cada vértice, onde é o comprimento do lado do triângulo. Substituindo o valor de , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia de uma única massa em relação ao centro de massa:
Simplificando:

Passo 5

Como são três massas iguais, o momento de inércia total do sistema é a soma dos momentos de cada massa:

Resposta

O momento de inércia do sistema em relação ao centro de massa é aproximadamente .

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