Existem tres massas pontuais de mesmo valor dispostas nos vértices de um triảngulo equilátero. Cada massa vale
, e o lado do triângulo vale
. (a) Calcule o momento de inércia do sistema em relaçāo ao centro de massa do conjunto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente tem três massas iguais de
posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero com lado de
. A tarefa é calcular o momento de inércia desse sistema em relação ao centro de massa. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para sistemas de partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) de uma partícula em relação a um ponto é dado por
, onde
é a massa da partícula e
é a distância dela até o ponto de rotação. Como temos três massas iguais, vamos calcular a distância de cada uma ao centro de massa do triângulo.
Passo 3
No triângulo equilátero, o centro de massa coincide com o centroid, que está localizado a uma distância de
de cada vértice, onde
é o comprimento do lado do triângulo. Substituindo o valor de
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de inércia de uma única massa em relação ao centro de massa:
Simplificando:
Passo 5
Como são três massas iguais, o momento de inércia total do sistema é a soma dos momentos de cada massa:
Resposta
O momento de inércia do sistema em relação ao centro de massa é aproximadamente
.