Existem tres massas pontuais de mesmo valor dispostas nos vértices de um triảngulo equilátero. Cada massa vale , e o lado do triângulo vale . (b) Calcule o momento de inéreia em relação a um dos vértices do triângulo.

Passo 1

Vamos resolver um problema de física que envolve o momento de inércia. Temos três massas pontuais iguais, cada uma pesando , dispostas nos vértices de um triângulo equilátero com lado . Precisamos calcular o momento de inércia em relação a um dos vértices do triângulo. Para isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e como aplicá-lo a massas pontuais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto a mudanças no seu movimento de rotação. Para uma massa pontual, a fórmula do momento de inércia é:
onde:
  • é o momento de inércia,
  • é a massa,
  • é a distância da massa ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, queremos o momento de inércia em relação a um dos vértices do triângulo. Vamos escolher um vértice como eixo de rotação. As três massas estão nos vértices do triângulo, então uma delas está exatamente no eixo, e as outras duas estão a uma certa distância dele.

Passo 4

A massa que está no eixo de rotação (o vértice escolhido) está a distância , ent��o o seu momento de inércia é:

Passo 5

As outras duas massas estão nos outros dois vértices do triângulo. Vamos calcular a distância de cada uma delas até o vértice escolhido. Em um triângulo equilátero com lado , a distância de um vértice ao centro (que não é o nosso ponto de rotação) é dada por:
pois elas estão a uma distância igual ao lado do triângulo do vértice escolhido.

Passo 6

Agora, calculamos o momento de inércia de cada uma dessas duas massas:
Como temos duas massas nessa posição, multiplicamos por 2:

Resposta

O momento de inércia em relação a um dos vértices do triângulo é .

Exercícios de Livros Relacionados