O fio de um pêndulo cônico possui comprimento igual a 1 m . A velocidade angular é igual a . (o) Calcule o ângulo formado entre o fio e a vertical.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pêndulo cônico, que é basicamente um peso pendurado por um fio que gira formando um ângulo com a vertical. A questão diz que o comprimento do fio é de 1 metro e a velocidade angular é de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é esse ângulo entre o fio e a vertical. Para isso, vamos usar conceitos de física envolvendo forças em movimento circular e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama do pêndulo cônico. Imagine o fio formando um ângulo com a vertical e o peso girando em um círculo horizontal. Nessa situação, temos duas forças principais agindo no sistema:
  1. Força gravitacional ( ): que puxa o peso para baixo.
  2. Tensão no fio ( ): que pode ser dividida em duas componentes:
    • Componente vertical ( ): que equilibra a força gravitacional.
    • Componente horizontal ( ): que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 3

Vamos relacionar essas forças. Na direção vertical, a componente da tensão deve equilibrar o peso:
Já na direção horizontal, a componente da tensão fornece a força centrípeta ( ):
Onde é a aceleração centrípeta, que pode ser calculada por:
Aqui, é a velocidade angular e é o raio da trajetória circular.

Passo 4

Precisamos encontrar o raio da trajetória. Sabemos que o fio tem comprimento e forma um ângulo com a vertical. O raio pode ser expresso como:
Agora, substituímos na equação da força horizontal:

Passo 5

Vamos dividir as duas equações para eliminar e :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Sabemos que , e . Vamos substituir esses valores:

Passo 7

Calculando o valor dentro da função arco-tangente:
Então:

Passo 8

Usando uma calculadora, encontramos:

Resposta

O ângulo formado entre o fio e a vertical é aproximadamente .

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