O fio de um pêndulo cônico possui comprimento igual a 1 m . A velocidade angular é igual a
. (o) Calcule o ângulo formado entre o fio e a vertical.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um pêndulo cônico, que é basicamente um peso pendurado por um fio que gira formando um ângulo com a vertical. A questão diz que o comprimento do fio é de 1 metro e a velocidade angular é de
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é esse ângulo entre o fio e a vertical. Para isso, vamos usar conceitos de física envolvendo forças em movimento circular e trigonometria básica.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama do pêndulo cônico. Imagine o fio formando um ângulo
com a vertical e o peso girando em um círculo horizontal. Nessa situação, temos duas forças principais agindo no sistema:
- Força gravitacional (
): que puxa o peso para baixo. - Tensão no fio (
): que pode ser dividida em duas componentes: - Componente vertical (
): que equilibra a força gravitacional. - Componente horizontal (
): que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
- Componente vertical (
Passo 3
Vamos relacionar essas forças. Na direção vertical, a componente da tensão deve equilibrar o peso:
Já na direção horizontal, a componente da tensão fornece a força centrípeta (
):
Onde
é a aceleração centrípeta, que pode ser calculada por:
Aqui,
é a velocidade angular e
é o raio da trajetória circular.
Passo 4
Precisamos encontrar o raio
da trajetória. Sabemos que o fio tem comprimento
e forma um ângulo
com a vertical. O raio
pode ser expresso como:
Agora, substituímos
na equação da força horizontal:
Passo 5
Vamos dividir as duas equações para eliminar
e
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos isolar
:
Sabemos que
,
e
. Vamos substituir esses valores:
Passo 7
Calculando o valor dentro da função arco-tangente:
Então:
Passo 8
Usando uma calculadora, encontramos:
Resposta
O ângulo formado entre o fio e a vertical é aproximadamente
.