O fio de um pêndulo cônico possui comprimento igual a 1 m . A velocidade angular é igual a . (b) Sendo , qual é a tensăo no fio?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulo cônico! A gente tem um fio de 1 metro de comprimento, uma velocidade angular de 6 rad/s e a massa do objeto é 2 kg. O que queremos descobrir é a tensão no fio. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças em movimento circular e como a tensão no fio se relaciona com essas forças.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam no pêndulo. Tem a força da gravidade puxando o objeto para baixo, que é , onde é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Tem também a força centrípeta que mantém o objeto em movimento circular. Essa força é fornecida pela componente horizontal da tensão no fio. A força centrípeta é dada por , onde é a velocidade angular e é o raio da trajetória circular.

Passo 4

Vamos relacionar o raio com o comprimento do fio e o ângulo que o fio faz com a vertical. Temos . Mas para simplificar, podemos usar a relação entre as forças. A componente vertical da tensão equilibra a força da gravidade: .

Passo 5

E a componente horizontal da tensão fornece a força centrípeta: .

Passo 6

Dividindo as duas equações, temos:
Isso simplifica para:

Passo 7

Como , substituímos na equação:
Sabemos que , então:
Cancelando (desde que não seja zero):
O que implica:

Passo 8

Agora voltamos à equação da componente vertical da tensão:
Substituindo :
Isolando :

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores:

Resposta

A tensão no fio é de 72 N.

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