Um flutuador de de comprimento move-se em um trilho de ar com aceleração constante. Um intervalo de tempo de transcorre entre o instante em que sua dianteira passa por um ponto fixo (A) ao longo do trilho e o instante em que sua traseira passa por este mesmo ponto. Em seguida, um intervalo de tempo de 1,39 s transcorre entre o instante em que sua traseira passa pelo ponto fixo (A)
tante em que sua dianteira passa por um segundo ponto (B) mais adiante no trilho. Depois disto, mais transcorre até que a traseira do flutuador passe por um ponto (B). Explique como você pode computar a aceleração sem saber a distância entre os pontos (A) e (B).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um flutuador de 12,4 cm de comprimento que se move em um trilho de ar com aceleração constante. O exercício fornece alguns intervalos de tempo relacionados ao movimento do flutuador passando por pontos fixos A e B no trilho. A pergunta é: como calcular a aceleração desse flutuador sem saber a distância entre os pontos A e B?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento com aceleração constante. Vamos precisar entender como posição, velocidade e aceleração estão relacionadas ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • (comprimento do flutuador)
  • (tempo entre a dianteira passando por A e a traseira passando por A)
  • (tempo entre a traseira passando por A e a dianteira passando por B)
  • (tempo entre a dianteira passando por B e a traseira passando por B)
  • (aceleração, que queremos encontrar)

Passo 3

Vamos analisar o primeiro intervalo de tempo . Quando a dianteira do flutuador passa por A e, após , a traseira passa por A, isso significa que o flutuador percorreu seu próprio comprimento nesse tempo.
Como estamos lidando com movimento uniformemente acelerado, a velocidade do flutuador está aumentando enquanto ele passa pelo ponto A. Vamos chamar a velocidade no momento em que a dianteira passa por A de . A velocidade quando a traseira passa por A será .

Passo 4

Agora, vamos considerar o segundo intervalo de tempo , onde a traseira passa por A e a dianteira passa por B. Aqui, o flutuador percorre a distância entre A e B, que chamaremos de .
Durante esse intervalo de tempo, a velocidade do flutuador está aumentando de para .

Passo 5

Em seguida, temos o terceiro intervalo de tempo , onde a dianteira passa por B e a traseira passa por B. Semelhante ao primeiro intervalo, o flutuador percorre seu próprio comprimento nesse tempo. A velocidade durante esse intervalo aumenta de para , onde é a velocidade quando a dianteira passa por B.

Passo 6

Agora, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. A distância percorrida em cada intervalo de tempo pode ser expressa como:
  1. Para o primeiro intervalo:
  2. Para o segundo intervalo:
  3. Para o terceiro intervalo:

Passo 7

Observamos que , já que a velocidade aumenta com a aceleração ao longo do tempo.
Vamos substituir na terceira equação:

Passo 8

Agora, temos três equações com duas incógnitas ( e ). Nosso objetivo é resolver para .
Primeiro, rearranjamos a primeira equação para :

Passo 9

Substituímos na segunda equação:
Simplificando:

Passo 10

Sabemos que a distância entre A e B ( ) pode ser expressa em termos do tempo total e aceleração. No entanto, como não conhecemos , precisamos eliminar essa variável.
Podemos considerar que a distância total percorrida do primeiro à terceira passagem é . Porém, sem complicar mais, vamos focar em resolver as equações que já temos para encontrar .

Passo 11

Voltando à terceira equação com substituído:
Vamos simplificar essa equação para isolar .

Passo 12

Vamos reorganizar a equação:

Passo 13

Agora, trazemos o termo com para o lado esquerdo:
Fatorando no lado direito:

Passo 14

Isolamos :

Passo 15

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação para calcular :
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:

Resposta

A aceleração do flutuador é aproximadamente .

Exercícios de Livros Relacionados