Engenheiros automotivos referem-se ao tempo de mudança de aceleração como jerk. Suponha que um corpo se mova em uma dimensão de tal modo que seu jerk é constante. (b) Mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que se move em uma dimensão onde o “jerk” (tempo de mudança de aceleração) é constante. Precisamos mostrar que a relação é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as relações entre aceleração, velocidade e tempo quando o jerk é constante.

Passo 2

Começamos sabendo que o jerk é a taxa de variação da aceleração em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado por:
Como o jerk é constante, podemos integrar essa equação para encontrar a expressão para a aceleração em função do tempo :
onde é a aceleração inicial.

Passo 3

Agora, sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar a expressão da aceleração que encontramos:
Integrando termo a termo:
onde é a velocidade inicial.

Passo 4

Nosso objetivo é relacionar e sem o tempo . Para isso, vamos isolar da equação da aceleração:
Agora, substituímos essa expressão de na equação da velocidade:

Passo 5

Vamos simplificar a equação para encontrar uma relação direta entre e :
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Factorizando :

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por para isolar :
Rearranjando os termos, obtemos:

Resposta

Assim, mostramos que:

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