Engenheiros automotivos referem-se ao tempo de mudança de aceleração como jerk. Suponha que um corpo se mova em uma dimensão de tal modo que seu jerk
é constante. (b) Mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo que se move em uma dimensão onde o “jerk”
(tempo de mudança de aceleração) é constante. Precisamos mostrar que a relação
é verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as relações entre aceleração, velocidade e tempo quando o jerk é constante.
Passo 2
Começamos sabendo que o jerk
é a taxa de variação da aceleração em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado por:
Como o jerk é constante, podemos integrar essa equação para encontrar a expressão para a aceleração
em função do tempo
:
onde
é a aceleração inicial.
Passo 3
Agora, sabemos que a velocidade
é a integral da aceleração em relação ao tempo. Então, vamos integrar a expressão da aceleração que encontramos:
Integrando termo a termo:
onde
é a velocidade inicial.
Passo 4
Nosso objetivo é relacionar
e
sem o tempo
. Para isso, vamos isolar
da equação da aceleração:
Agora, substituímos essa expressão de
na equação da velocidade:
Passo 5
Vamos simplificar a equação para encontrar uma relação direta entre
e
:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Factorizando
:
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para isolar
:
Rearranjando os termos, obtemos:
Resposta
Assim, mostramos que: