M Kathy testa seu novo carro esporte numa corrida com Stan, um corredor experiente. Ambos começam do repouso, mas Kathy sai da linha de partida depois de Stan. Stan se movimenta com aceleração constante de , enquanto Kathy mantém uma aceleração de . Encontre (a) o instante em que Kathy ultrapassa Stan,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos Kathy e Stan correndo uma corrida. Ambos começam do repouso, mas Kathy começa 1,00 segundo depois de Stan. Stan acelera a uma taxa constante de e Kathy acelera a . Precisamos descobrir em que instante Kathy ultrapassa Stan.

Passo 2

Para resolver esse problema, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. A posição de cada corredor em função do tempo pode ser descrita pela fórmula:
Onde:
  • é a posição final,
  • é a posição inicial,
  • é a velocidade inicial,
  • é a aceleração,
  • é o tempo.
Como ambos começam do repouso, , e assumimos que para simplificar.

Passo 3

Vamos chamar o tempo que Stan está correndo desde o início. Como Kathy começa 1 segundo depois, o tempo que ela está correndo será . Assim, as posições de Stan e Kathy em função do tempo são:
Para Stan:
Para Kathy:

Passo 4

Kathy ultrapassa Stan quando suas posições forem iguais, ou seja, quando . Então, igualamos as duas equações:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Primeiro, expandimos o lado esquerdo:
Agora, igualamos à equação do Stan:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
  • ,
  • ,
  • .
Calculando o discriminante ( ):

Passo 7

Calculando as raízes:
Então:
Obtemos duas soluções:

Passo 8

Interpretando as soluções:
  • é um tempo antes de Kathy começar a correr (já que ela começou 1 segundo depois), então descartamos essa solução.
  • A solução válida é .

Resposta

Kathy ultrapassa Stan segundos após Stan ter iniciado a corrida.

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