O momento
conjugado à posição relativa
está definido com as componentes
e assim por diante. Demonstre que
. Demonstre também que, no referencial do
é o mesmo que
, o momento da partícula 1 (e também
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar duas coisas envolvendo o momento conjugado
ligado à posição relativa
de duas partículas. A primeira parte é mostrar que
, onde
é a massa reduzida. A segunda parte é provar que, no referencial do centro de massa (CM), esse momento
é igual ao momento da partícula 1,
, e também igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica Lagrangiana e propriedades de sistemas de duas partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento conjugado. Na mecânica Lagrangiana, o momento conjugado à posição
é definido como a derivada parcial do Lagrangiano em relação à velocidade
, ou seja:
Isso vale para cada componente do vetor posição relativa
.
Passo 3
Agora, vamos considerar um sistema de duas partículas com massas
e
. A posição relativa é dada por
. A velocidade relativa é, então,
.
Passo 4
O Lagrangiano desse sistema, assumindo que a única interação é potencial
, é:
Precisamos expressar
e
em termos de
(velocidade do centro de massa) e
(velocidade relativa).
Passo 5
Sabemos que a posição do centro de massa é:
Derivando em relação ao tempo, temos:
Podemos resolver essas equações para
e
:
Passo 6
Substituindo essas expressões no Lagrangiano:
Expandindo os quadrados e simplificando, percebemos que o termo de centro de massa fica separado do termo relativo. Focando no termo relativo, obtemos:
Onde
é a massa reduzida.
Passo 7
Com o Lagrangiano relativo identificado, podemos calcular o momento conjugado
:
Isso demonstra a primeira parte da questão:
.
Passo 8
Agora, vamos para a segunda parte. No referencial do centro de massa, a velocidade do centro de massa é zero, ou seja,
. Então, as velocidades das partículas são:
Calculando os momentos das partículas:
Resposta
Concluímos que
e, no referencial do centro de massa,
é igual ao momento da partícula 1,
, e também igual a
.