O momento conjugado à posição relativa está definido com as componentes e assim por diante. Demonstre que . Demonstre também que, no referencial do é o mesmo que , o momento da partícula 1 (e também ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar duas coisas envolvendo o momento conjugado ligado à posição relativa de duas partículas. A primeira parte é mostrar que , onde é a massa reduzida. A segunda parte é provar que, no referencial do centro de massa (CM), esse momento é igual ao momento da partícula 1, , e também igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica Lagrangiana e propriedades de sistemas de duas partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento conjugado. Na mecânica Lagrangiana, o momento conjugado à posição é definido como a derivada parcial do Lagrangiano em relação à velocidade , ou seja:
Isso vale para cada componente do vetor posição relativa .

Passo 3

Agora, vamos considerar um sistema de duas partículas com massas e . A posição relativa é dada por . A velocidade relativa é, então, .

Passo 4

O Lagrangiano desse sistema, assumindo que a única interação é potencial , é:
Precisamos expressar e em termos de (velocidade do centro de massa) e (velocidade relativa).

Passo 5

Sabemos que a posição do centro de massa é:
Derivando em relação ao tempo, temos:
Podemos resolver essas equações para e :

Passo 6

Substituindo essas expressões no Lagrangiano:
Expandindo os quadrados e simplificando, percebemos que o termo de centro de massa fica separado do termo relativo. Focando no termo relativo, obtemos:
Onde é a massa reduzida.

Passo 7

Com o Lagrangiano relativo identificado, podemos calcular o momento conjugado :
Isso demonstra a primeira parte da questão: .

Passo 8

Agora, vamos para a segunda parte. No referencial do centro de massa, a velocidade do centro de massa é zero, ou seja, . Então, as velocidades das partículas são:
Calculando os momentos das partículas:

Resposta

Concluímos que e, no referencial do centro de massa, é igual ao momento da partícula 1, , e também igual a .

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