Uma partícula de massa
se move com momento angular
em um campo de uma força central fixa com
onde
e
são positivos. (a) Obtenha a equação radial transformada (8.41) e mostre que a órbita possui a forma
onde
são constantes positivas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move com momento angular
sob a influência de uma força central que depende da distância
. A força é dada por:
Aqui,
e
são constantes positivas. O objetivo é obter a equação radial transformada (referenciada como 8.41 no material) e mostrar que a órbita da partícula pode ser expressa na forma:
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre movimentos em campos de força central e equações de órbita. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula se move sob uma força central, o movimento pode ser descrito em coordenadas polares
. O momento angular
é constante e está relacionado à velocidade angular
pela expressão:
Como
é constante, podemos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos derivar a equação radial. A segunda lei de Newton para movimento radial em coordenadas polares é:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação:
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por
:
Passo 5
Agora, para transformar essa equação em função de
, usamos a substituição
. Mas é mais eficiente usar a substituição
e derivar em relação a
. Sabemos que:
E:
Mas como
é constante,
. Então:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 6
Vamos simplificar a equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, dividimos por
:
Aqui, parece haver um erro na simplificação anterior. Vamos corrigir isso.
Passo 7
Desculpe pela confusão no passo anterior. Vamos refazer a simplificação corretamente.
Começamos com:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, vamos usar a substituição
. Então,
e
. Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Isso fica complicado, então vamos usar uma abordagem diferente para simplificar.
Passo 9
Vamos considerar que a equação da órbita tem a forma geral:
Onde
,
, e
são constantes a serem determinadas. Vamos derivar essa expressão duas vezes e substituir na equação diferencial que obtivemos.
Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 10
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial, temos:
Substituindo
:
Isso parece complicado, então vamos comparar os coeficientes de
e os termos constantes para encontrar as condições necessárias para que a igualdade seja válida para todos
.
Passo 11
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem satisfazer:
- Termo com
:
- Termo constante:
Passo 12
Vamos resolver a equação dos termos constantes primeiro:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto:
Passo 13
Agora, vamos resolver para
. Voltando à equação com
:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando por
:
Mas sabemos da equação anterior que:
Então substituindo:
Isso implica que
, o que não faz sentido físico, pois
deve ser positivo. Parece que houve um erro na abordagem.
Passo 14
Na verdade, a abordagem de assumir a forma da solução desde o início complicou as coisas. Vamos voltar à equação diferencial correta e encontrar os parâmetros
,
e
de maneira mais direta.
A equação radial transformada que obtivemos é:
Onde
.
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução homogênea e particular.
Passo 15
A solução geral da equação homogênea
é:
A solução particular
para a equação completa pode ser considerada como uma constante, já que o termo não homogêneo é constante. Suponha
.
Substituindo na equação diferencial:
Portanto:
Passo 16
A solução geral é a soma das soluções homogênea e particular:
Podemos reescrever isso usando uma única constante de fase e amplitude:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 17
Para comparar com a forma que a questão pede:
Precisamos ajustar nossa solução
para esse formato. Observando a solução geral:
Podemos identificar:
E
,
(sem perda de generalidade na fase).
Portanto:
Resposta
Seguindo os passos acima, mostramos que a órbita da partícula tem a forma:
onde
,
e
são constantes positivas, conforme solicitado.