Uma partícula de massa se move com momento angular em um campo de uma força central fixa com
onde e são positivos. (a) Obtenha a equação radial transformada (8.41) e mostre que a órbita possui a forma
onde são constantes positivas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa que se move com momento angular sob a influência de uma força central que depende da distância . A força é dada por:
Aqui, e são constantes positivas. O objetivo é obter a equação radial transformada (referenciada como 8.41 no material) e mostrar que a órbita da partícula pode ser expressa na forma:
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre movimentos em campos de força central e equações de órbita. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula se move sob uma força central, o movimento pode ser descrito em coordenadas polares . O momento angular é constante e está relacionado à velocidade angular pela expressão:
Como é constante, podemos isolar :

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação radial. A segunda lei de Newton para movimento radial em coordenadas polares é:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação:
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por :

Passo 5

Agora, para transformar essa equação em função de , usamos a substituição . Mas é mais eficiente usar a substituição e derivar em relação a . Sabemos que:
E:
Mas como é constante, . Então:
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 6

Vamos simplificar a equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, dividimos por :
Aqui, parece haver um erro na simplificação anterior. Vamos corrigir isso.

Passo 7

Desculpe pela confusão no passo anterior. Vamos refazer a simplificação corretamente.
Começamos com:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, vamos usar a substituição . Então, e . Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Isso fica complicado, então vamos usar uma abordagem diferente para simplificar.

Passo 9

Vamos considerar que a equação da órbita tem a forma geral:
Onde , , e são constantes a serem determinadas. Vamos derivar essa expressão duas vezes e substituir na equação diferencial que obtivemos.
Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:

Passo 10

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial, temos:
Substituindo :
Isso parece complicado, então vamos comparar os coeficientes de e os termos constantes para encontrar as condições necessárias para que a igualdade seja válida para todos .

Passo 11

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem satisfazer:
  1. Termo com :
  1. Termo constante:

Passo 12

Vamos resolver a equação dos termos constantes primeiro:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto:

Passo 13

Agora, vamos resolver para . Voltando à equação com :
Dividindo ambos os lados por :
Multiplicando por :
Mas sabemos da equação anterior que:
Então substituindo:
Isso implica que , o que não faz sentido físico, pois deve ser positivo. Parece que houve um erro na abordagem.

Passo 14

Na verdade, a abordagem de assumir a forma da solução desde o início complicou as coisas. Vamos voltar à equação diferencial correta e encontrar os parâmetros , e de maneira mais direta.
A equação radial transformada que obtivemos é:
Onde .
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução homogênea e particular.

Passo 15

A solução geral da equação homogênea é:
A solução particular para a equação completa pode ser considerada como uma constante, já que o termo não homogêneo é constante. Suponha .
Substituindo na equação diferencial:
Portanto:

Passo 16

A solução geral é a soma das soluções homogênea e particular:
Podemos reescrever isso usando uma única constante de fase e amplitude:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 17

Para comparar com a forma que a questão pede:
Precisamos ajustar nossa solução para esse formato. Observando a solução geral:
Podemos identificar:
E , (sem perda de generalidade na fase).
Portanto:

Resposta

Seguindo os passos acima, mostramos que a órbita da partícula tem a forma:
onde , e são constantes positivas, conforme solicitado.

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