Mostre que a diferença entre os níveis de decibéis de um som está relacionada com a razão das distâncias e da fonte sonora por:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a diferença entre os níveis de decibéis de dois sons, e , está relacionada com a razão das distâncias e da fonte sonora pela fórmula:
Vamos precisar entender como o nível de decibéis se relaciona com a intensidade do som e como a intensidade varia com a distância da fonte sonora.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o nível de decibéis ( ) é uma medida logarítmica da intensidade sonora ( ) em relação a uma intensidade de referência ( ). A fórmula é:

Passo 3

Sabemos que a intensidade do som diminui conforme a distância da fonte aumenta. Especificamente, a intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância:
Isso significa que se você dobrar a distância da fonte, a intensidade do som reduz pela metade ao quadrado.

Passo 4

Vamos considerar duas intensidades sonoras em duas distâncias diferentes da mesma fonte:
Onde é a potência da fonte sonora.

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença dos níveis de decibéis:
Usando propriedades dos logaritmos, isso se simplifica para:

Passo 6

Substituindo e na equação:

Passo 7

Simplificando a expressão, usando a propriedade do logaritmo que :

Resposta

Assim, mostramos que:

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