Mostre que a diferença entre os níveis de decibéis de um som está relacionada com a razão das distâncias e da fonte sonora por:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a diferença entre os níveis de decibéis de dois sons, e , está relacionada com a razão das distâncias e da fonte sonora pela fórmula:
Vamos precisar entender como o nível de decibéis se relaciona com a intensidade do som e como a intensidade varia com a distância da fonte sonora.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o nível de decibéis () é uma medida logarítmica da intensidade sonora () em relação a uma intensidade de referência (). A fórmula é:
Passo 3
Sabemos que a intensidade do som diminui conforme a distância da fonte aumenta. Especificamente, a intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância:
Isso significa que se você dobrar a distância da fonte, a intensidade do som reduz pela metade ao quadrado.
Passo 4
Vamos considerar duas intensidades sonoras em duas distâncias diferentes da mesma fonte:
Onde é a potência da fonte sonora.
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença dos níveis de decibéis:
Usando propriedades dos logaritmos, isso se simplifica para:
Passo 6
Substituindo e na equação:
Passo 7
Simplificando a expressão, usando a propriedade do logaritmo que :
Resposta
Assim, mostramos que:
Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol2 - 8ª Edição - Capítulo 3.Problemas - Ex. 28