Seja
qualquer função com as duas primeiras derivadas
e
e seja
um vetor unitário fixo e arbitrário. (a) Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o gradiente de uma função composta
é igual a
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com a operação de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função que depende de um produto escalar.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o gradiente
de uma função
em relação ao vetor posição
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação às coordenadas de
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Vamos chamar a expressão dentro de
de
, ou seja,
. Assim, nossa função fica
.
Passo 4
Para encontrar o gradiente de
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. No contexto do gradiente, isso se traduz em:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o gradiente de
. Sabemos que o gradiente do produto escalar
em relação a
é simplesmente o vetor
. Como
é uma constante em relação a
, o gradiente de
é:
Passo 6
Substituindo
na expressão do gradiente de
:
E lembrando que
, temos: