Seja qualquer função com as duas primeiras derivadas e e seja um vetor unitário fixo e arbitrário. (a) Mostre que .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o gradiente de uma função composta é igual a . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com a operação de gradiente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função que depende de um produto escalar.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o gradiente de uma função em relação ao vetor posição é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação às coordenadas de .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Vamos chamar a expressão dentro de de , ou seja, . Assim, nossa função fica .

Passo 4

Para encontrar o gradiente de , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna. No contexto do gradiente, isso se traduz em:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o gradiente de . Sabemos que o gradiente do produto escalar em relação a é simplesmente o vetor . Como é uma constante em relação a , o gradiente de é:

Passo 6

Substituindo na expressão do gradiente de :
E lembrando que , temos:

Resposta

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