Em um certo ponto (que você pode escolher como sendo a origem) em um sólido contínuo, o tensor de deformação é E. Assuma por simplicidade que qualquer que seja o deslocamento, este tenha deixado fixo e a sua vizinhança não rotacionada. (a) Mostre que o eixo próximo a é alongado por um fator .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um ponto em um sólido contínuo onde o tensor de deformação é . A gente pode considerar como sendo a origem das coordenadas. O exercício nos pede para mostrar que o eixo perto de é alongado por um fator de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensor de deformação e como ele descreve as deformações no material.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de deformação . Em mecânica dos sólidos, o tensor de deformação relaciona as deformações de um material com seus deslocamentos. Ele é definido como:
onde são os deslocamentos na direção e é a coordenada na direção .

Passo 3

O enunciado nos diz que o ponto está fixo, ou seja, os deslocamentos em são nulos: . Além disso, a vizinhança de não está rotacionada, o que implica que as componentes fora da diagonal do tensor de deformação são zero no ponto . Portanto, o tensor de deformação em é diagonal, ou seja:

Passo 4

Agora, vamos focar no eixo . O alongamento desse eixo está relacionado à deformação ao longo da direção , que está representada pela componente do tensor de deformação. O fator de alongamento é dado por:
Isso significa que, se for positivo, o eixo está se alongando; se for negativo, está se contraindo.

Passo 5

Portanto, mostramos que o eixo próximo ao ponto é de fato alongado por um fator de , conforme solicitado no exercício.

Resposta

O eixo próximo a é alongado por um fator de .

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