O que se tornaria a órbita da Terra (que você pode considerar como um círculo) se a metade da massa do Sol desaparecesse repentinamente? A Terra iria permanecer ligada ao Sol? [Sugestões: considere o que aconteceria a EC e EP da Terra no momento do grande desaparecimento da massa. O teorema virial para a órbita circular (Problema 4.41) auxiliará na resolução.] Trate o Sol (ou o que permanecer dele) como fixo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem a Terra orbitando o Sol em uma trajetória circular. De repente, metade da massa do Sol desaparece! Para resolver essa questão, vamos precisar usar conceitos de energia cinética (EC), energia potencial gravitacional (EP) e o teorema virial. Esses conceitos nos ajudam a entender como a energia da Terra se comporta quando a massa do Sol muda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como estão as coisas antes da massa do Sol ser diminuída. Em uma órbita circular, a energia cinética da Terra é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do Sol, -
é a massa da Terra, -
é a distância entre a Terra e o Sol, -
é a velocidade orbital da Terra.
Para uma órbita circular estável, a velocidade da Terra satisfaz:
Substituindo isso na energia cinética:
A energia total
da Terra na órbita é a soma da energia cinética e potencial:
Essa energia negativa indica que a Terra está ligada ao Sol.
Passo 3
Agora, metade da massa do Sol desaparece. Isso significa que a nova massa do Sol é
. A energia potencial gravitacional passa a ser:
A energia cinética da Terra, no instante da mudança, não muda imediatamente, pois a velocidade não se altera instantaneamente:
Portanto, a nova energia total
da Terra será:
Passo 4
Com a energia total
, estamos no limiar entre órbita ligada e orbitas não ligadas. Segundo o teorema virial, para sistemas em equilíbrio,
. No nosso caso, após a perda de massa, a energia total é zero, o que sugere que a Terra está na fronteira entre ficar ligada ou escapar.
Se a energia total fosse negativa, a Terra permaneceria em órbita; se fosse positiva, a Terra escaparia. Com
, a Terra segue uma trajetória parabólica, o que significa que está prestes a escapar, mas ainda infinitamente distante.
Resposta
A Terra não permaneceria mais ligada ao Sol; com metade da massa do Sol desaparecida, sua órbita deixaria de ser estável e ela escaparia, seguindo uma trajetória não ligada ao Sol.