Se você resolveu o Problema 4.41, deparou-se com o teorema de virial para uma órbita circular de uma partícula em uma força central com
. Aqui, está uma forma mais geral do teorema que se aplica para qualquer órbita periódica de uma partícula. (a) Determine a derivada temporal da grandeza
e, integrando-a de um tempo
até um instante
, mostre que
onde
é a força resultante sobre a partícula e
denota a média sobre o tempo de qualquer grandeza
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que precisamos fazer aqui. O enunciado pede para a gente determinar a derivada temporal da grandeza
, onde
é a posição e
o momento da partícula. Depois, vamos integrar essa derivada do tempo 0 até um tempo
e mostrar que:
Aqui,
é a força resultante na partícula,
é a energia cinética, e os colchetes
indicam uma média temporal. Vamos usar conceitos de mecânica clássica, como derivadas de vetores e integração no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada temporal de
. Usando a regra do produto para derivadas:
Sabemos que
(velocidade) e
(força resultante). Então:
Passo 3
Vamos lembrar que o momento
é relacionado à velocidade pela relação
, onde
é a massa da partícula. Portanto:
Aqui,
é a energia cinética. Substituindo na expressão da derivada:
Passo 4
Agora, vamos integrar a derivada de
de
até
:
A integral da derivada
nos dá
, então:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
As expressões
e
representam as médias temporais de
e
, respectivamente. Ou seja: