Se você resolveu o Problema 4.41, deparou-se com o teorema de virial para uma órbita circular de uma partícula em uma força central com . Aqui, está uma forma mais geral do teorema que se aplica para qualquer órbita periódica de uma partícula. (a) Determine a derivada temporal da grandeza e, integrando-a de um tempo até um instante , mostre que
onde é a força resultante sobre a partícula e denota a média sobre o tempo de qualquer grandeza .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que precisamos fazer aqui. O enunciado pede para a gente determinar a derivada temporal da grandeza , onde é a posição e o momento da partícula. Depois, vamos integrar essa derivada do tempo 0 até um tempo e mostrar que:
Aqui, é a força resultante na partícula, é a energia cinética, e os colchetes indicam uma média temporal. Vamos usar conceitos de mecânica clássica, como derivadas de vetores e integração no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada temporal de . Usando a regra do produto para derivadas:
Sabemos que (velocidade) e (força resultante). Então:

Passo 3

Vamos lembrar que o momento é relacionado à velocidade pela relação , onde é a massa da partícula. Portanto:
Aqui, é a energia cinética. Substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Agora, vamos integrar a derivada de de até :
A integral da derivada nos dá , então:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por :
As expressões e representam as médias temporais de e , respectivamente. Ou seja:

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados