Pela construção explícita das matrizes em questão, demonstre que qualquer matriz T pode ser escrita
© como a soma de uma matriz hermitiana H e uma matriz anti-hermitiana K .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente mostre que qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana e uma matriz anti-hermitiana . Isso envolve conceitos de matrizes hermitianas e anti-hermitianas, que vamos precisar entender para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são matrizes hermitianas e anti-hermitianas. Uma matriz é hermitiana se ela for igual à sua própria transposta conjugada, ou seja:
onde é a transposta conjugada de .
Já uma matriz é anti-hermitiana se ela for igual ao negativo da sua própria transposta conjugada:

Passo 3

Agora, para decompor uma matriz em , precisamos definir e de forma que seja hermitiana e seja anti-hermitiana. Vamos propor as seguintes definições:

Passo 4

Vamos verificar se é realmente uma matriz hermitiana. Calculando a transposta conjugada de :
Então, , o que confirma que é hermitiana.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é uma matriz anti-hermitiana. Calculando a transposta conjugada de :
Assim, , confirmando que é anti-hermitiana.

Passo 6

Finalmente, vamos somar e para verificar se realmente obtemos :
Portanto, mostramos que , onde é hermitiana e é anti-hermitiana.

Resposta

Qualquer matriz pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana e uma matriz anti-hermitiana , ou seja:

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