Pela construção explícita das matrizes em questão, demonstre que qualquer matriz T pode ser escrita
© como a soma de uma matriz hermitiana H e uma matriz anti-hermitiana K .
© como a soma de uma matriz hermitiana H e uma matriz anti-hermitiana K .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente mostre que qualquer matriz
pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana
e uma matriz anti-hermitiana
. Isso envolve conceitos de matrizes hermitianas e anti-hermitianas, que vamos precisar entender para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são matrizes hermitianas e anti-hermitianas. Uma matriz
é hermitiana se ela for igual à sua própria transposta conjugada, ou seja:
onde
é a transposta conjugada de
.
Já uma matriz
é anti-hermitiana se ela for igual ao negativo da sua própria transposta conjugada:
Passo 3
Agora, para decompor uma matriz
em
, precisamos definir
e
de forma que
seja hermitiana e
seja anti-hermitiana. Vamos propor as seguintes definições:
Passo 4
Vamos verificar se
é realmente uma matriz hermitiana. Calculando a transposta conjugada de
:
Então,
, o que confirma que
é hermitiana.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é uma matriz anti-hermitiana. Calculando a transposta conjugada de
:
Assim,
, confirmando que
é anti-hermitiana.
Passo 6
Finalmente, vamos somar
e
para verificar se realmente obtemos
:
Portanto, mostramos que
, onde
é hermitiana e
é anti-hermitiana.
Resposta
Qualquer matriz
pode ser escrita como a soma de uma matriz hermitiana
e uma matriz anti-hermitiana
, ou seja: