Uma partícula de massa se move com momento angular em um campo de uma força central fixa com
onde e são positivos. (b) Determine termos dos parâmetros dados e descreva a órbita para o caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa que se move com momento angular em um campo de força central dado pela fórmula:
Aqui, e são constantes positivas. Nosso objetivo é, na parte (b), determinar as constantes e em termos desses parâmetros e descrever a órbita quando . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a movimentos em campos de força central.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em um campo de força central, a equação do movimento pode ser escrita usando a conservação do momento angular e a energia. A força está relacionada ao potencial pela relação . Vamos integrar para encontrar :
Podemos ignorar a constante de integração pois ela não afeta o movimento.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da órbita em coordenadas polares. A equação geral para a trajetória em um campo central é:
onde . Substituindo na equação, temos:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Vamos reescrever:
Para resolver, identificamos e . Assim, a equação fica:

Passo 5

A solução dessa equação é da forma:
Aqui, é uma constante que será determinada pelas condições iniciais. Geralmente, para uma órbita fechada ou elíptica, representamos a solução como:
onde é a excentricidade da órbita.

Passo 6

Dessa forma, identificamos que:
Para , a excentricidade indica que a órbita é uma elipse. Isso significa que a partícula se move em uma trajetória elíptica ao redor do centro de força, com determinando o quão alongada é a elipse (sendo um círculo perfeito e próximo a 1 uma elipse mais alongada).

Resposta

As constantes são e . Para , a órbita da partícula é uma elipse.

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