Uma partícula de massa
se move com momento angular
em um campo de uma força central fixa com
onde
e
são positivos. (b) Determine
termos dos parâmetros dados e descreva a órbita para o caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa
que se move com momento angular
em um campo de força central dado pela fórmula:
Aqui,
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é, na parte (b), determinar as constantes
e
em termos desses parâmetros e descrever a órbita quando
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a movimentos em campos de força central.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em um campo de força central, a equação do movimento pode ser escrita usando a conservação do momento angular e a energia. A força
está relacionada ao potencial
pela relação
. Vamos integrar
para encontrar
:
Podemos ignorar a constante de integração
pois ela não afeta o movimento.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação da órbita em coordenadas polares. A equação geral para a trajetória em um campo central é:
onde
. Substituindo
na equação, temos:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Vamos reescrever:
Para resolver, identificamos
e
. Assim, a equação fica:
Passo 5
A solução dessa equação é da forma:
Aqui,
é uma constante que será determinada pelas condições iniciais. Geralmente, para uma órbita fechada ou elíptica, representamos a solução como:
onde
é a excentricidade da órbita.
Passo 6
Dessa forma, identificamos que:
Para
, a excentricidade indica que a órbita é uma elipse. Isso significa que a partícula se move em uma trajetória elíptica ao redor do centro de força, com
determinando o quão alongada é a elipse (sendo
um círculo perfeito e
próximo a 1 uma elipse mais alongada).
Resposta
As constantes são
e
. Para
, a órbita da partícula é uma elipse.