Quando uma pequena partícula é suspensa em um fluido, o bombardeamento pelas moléculas faz que ela se mova aleatoriamente. Robert Brown descobriu esse movimento em 1827, enquanto estudava a adubação das plantas, e o movimento ficou conhecido como movimento Browniano. A energia cinética média da partícula pode ser assumida como
, a mesma de uma molécula em um gás ideal. Consi-
dere uma partícula esférica de densidade
na água a
. (a) Para uma partícula de diâmetro
, calcule a velocidade rms.
dere uma partícula esférica de densidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento Browniano, que é o movimento aleatório de partículas suspensas em um fluido devido às colisões com as moléculas do fluido. A gente precisa calcular a velocidade rms (raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades) de uma partícula esférica com densidade
na água a
. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética e a relação entre massa, densidade e diâmetro da partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética média (
) de uma partícula no movimento Browniano é dada por:
onde:
-
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura absoluta em Kelvin.
Essa expressão nos diz que a energia cinética média depende apenas da temperatura.
Passo 3
Sabemos também que a energia cinética (
) de uma partícula em movimento é dada por:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade rms que queremos encontrar.
Como a energia cinética média é igual à energia cinética expressa acima, podemos igualar as duas equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Depois, isolamos
:
Passo 5
Precisamos expressar a massa
da partícula em termos do seu diâmetro
. Para uma partícula esférica, a massa é:
onde
é a densidade da partícula.
Substituindo
na equação da velocidade rms:
Resposta
A velocidade rms da partícula é dada por: