Quando uma pequena partícula é suspensa em um fluido, o bombardeamento pelas moléculas faz que ela se mova aleatoriamente. Robert Brown descobriu esse movimento em 1827, enquanto estudava a adubação das plantas, e o movimento ficou conhecido como movimento Browniano. A energia cinética média da partícula pode ser assumida como , a mesma de uma molécula em um gás ideal. Consi-
dere uma partícula esférica de densidade na água a . (a) Para uma partícula de diâmetro , calcule a velocidade rms.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento Browniano, que é o movimento aleatório de partículas suspensas em um fluido devido às colisões com as moléculas do fluido. A gente precisa calcular a velocidade rms (raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades) de uma partícula esférica com densidade na água a . Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética e a relação entre massa, densidade e diâmetro da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética média ( ) de uma partícula no movimento Browniano é dada por:
onde:
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura absoluta em Kelvin.
Essa expressão nos diz que a energia cinética média depende apenas da temperatura.

Passo 3

Sabemos também que a energia cinética ( ) de uma partícula em movimento é dada por:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade rms que queremos encontrar.
Como a energia cinética média é igual à energia cinética expressa acima, podemos igualar as duas equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Depois, isolamos :

Passo 5

Precisamos expressar a massa da partícula em termos do seu diâmetro . Para uma partícula esférica, a massa é:
onde é a densidade da partícula.
Substituindo na equação da velocidade rms:

Resposta

A velocidade rms da partícula é dada por:

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