Em qualquer ponto dado
de um meio contínuo, as forças de superfície são dadas pelo tensor de tensão, que é uma matriz real simétrica
. É um teorema bem conhecido da álgebra linear (veja o apêndice) que qualquer matriz desse tipo pode ser diagonalizada por meio de uma rotação apropriada dos eixos de coordenadas Cartesianos. Use este resultado
para mostrar que em qualquer ponto
há três direções ortogonais (os eixos principais em
) com a propriedade de que a força de superfície sobre qualquer superfície normal a uma dessas direções é exatamente normal à superficie.
para mostrar que em qualquer ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um ponto
num meio contínuo, tipo um material ou fluido, e nesse ponto, as forças que atuam nas superfícies são descritas por uma matriz chamada tensor de tensão
. Essa matriz é simétrica, ou seja, ela é igual à sua transposta. O que o exercício quer que a gente faça é usar um resultado da álgebra linear que diz que qualquer matriz simétrica pode ser diagonalizada com uma rotação adequada dos eixos. A ideia é mostrar que existem três direções ortogonais no ponto
(chamadas de eixos principais) onde as forças de superfície são exatamente normais às superfícies nas direções dessas eixos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes simétricas, diagonalização e o conceito de eixos principais em mecânica dos sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz
é simétrica se
, ou seja, ela é igual à sua transposta. Isso implica que os elementos fora da diagonal principal são iguais, como
, e assim por diante.
Passo 3
Agora, o próximo ponto importante é que toda matriz simétrica pode ser diagonalizada por uma rotação apropriada dos eixos de coordenadas. Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma base no espaço onde a matriz é representada apenas pelos elementos da diagonal principal, e todos os outros elementos são zero. Essa base é formada pelos autovetores da matriz, e os elementos da diagonal são os autovalores correspondentes.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso tensor de tensão
, ao diagonalizá-lo, estamos essencialmente rotacionando os eixos de coordenadas de tal forma que as forças de superfície que atuam nas novas direções sejam apenas normais às superfícies. Essas novas direções são os autovetores de
, que são mutuamente ortogonais, formando assim os eixos principais no ponto
.
Passo 5
Portanto, ao encontrar esses três autovetores (direções) que diagonalizam
, garantimos que as forças de superfície nessas direções sejam normais às superfícies correspondentes. Isso significa que, nessas três direções ortogonais, a tensão de cisalhamento é zero, e apenas a tensão normal (autovalor) atua, o que confirma a propriedade pedida no enunciado.
Resposta
Concluímos que em qualquer ponto
existe um sistema de três eixos ortogonais (os eixos principais) onde as forças de superfície são exatamente normais às superfícies correspondentes. Esses eixos são os autovetores do tensor de tensão
, e as tensões normais nessas direções são os autovalores associados.