Seja
qualquer função com as duas primeiras derivadas
e
e seja
um vetor unitário fixo e arbitrário. (b) Portanto, mostre que
satisfaz a equação de onda tridimensional (16.38).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável duas vezes, e um vetor unitário
. A tarefa é mostrar que a função
satisfaz a equação de onda tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o operador Laplaciano, que são conceitos fundamentais em cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de onda tridimensional. Ela é dada por:
Aqui,
representa o operador Laplaciano aplicado à função
, e
é a velocidade da onda.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função que queremos testar:
.
Para verificar se essa função satisfaz a equação de onda, precisamos calcular o Laplaciano de
e a segunda derivada de
em relação ao tempo, e então ver se a equação acima é satisfeita.
Passo 4
Vamos começar calculando o Laplaciano
. Em coordenadas cartesianas, o operador Laplaciano é dado por:
Como
depende de
, vamos usar a regra da cadeia para calcular essas derivadas.
Passo 5
Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial em relação a
:
Onde
é a componente de
na direção
.
Passo 6
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a
:
Fazendo o mesmo para as direções
e
:
Passo 7
Somando todas as componentes, obtemos o Laplaciano:
Como
é um vetor unitário, sabemos que
. Portanto:
Passo 8
Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de
:
Passo 9
Substituindo
e
na equação de onda, temos:
Simplificando:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto, a função
satisfaz a equação de onda tridimensional.