Seja qualquer função com as duas primeiras derivadas e e seja um vetor unitário fixo e arbitrário. (b) Portanto, mostre que satisfaz a equação de onda tridimensional (16.38).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que é diferenciável duas vezes, e um vetor unitário . A tarefa é mostrar que a função satisfaz a equação de onda tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e o operador Laplaciano, que são conceitos fundamentais em cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de onda tridimensional. Ela é dada por:
Aqui, representa o operador Laplaciano aplicado à função , e é a velocidade da onda.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função que queremos testar: .
Para verificar se essa função satisfaz a equação de onda, precisamos calcular o Laplaciano de e a segunda derivada de em relação ao tempo, e então ver se a equação acima é satisfeita.

Passo 4

Vamos começar calculando o Laplaciano . Em coordenadas cartesianas, o operador Laplaciano é dado por:
Como depende de , vamos usar a regra da cadeia para calcular essas derivadas.

Passo 5

Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial em relação a :
Onde é a componente de na direção .

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a :
Fazendo o mesmo para as direções e :

Passo 7

Somando todas as componentes, obtemos o Laplaciano:
Como é um vetor unitário, sabemos que . Portanto:

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda derivada temporal de :

Passo 9

Substituindo e na equação de onda, temos:
Simplificando:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira.

Resposta

Portanto, a função satisfaz a equação de onda tridimensional.

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