Sejam
e
dois vetores unitários quaisquer e
um ponto em um meio contínuo.
é a força de superfície sobre um pequeno elemento de área
em
com vetor normal unitário
apontando para fora, da mesma forma
é a componente da força na direção de
. Mostre o teorema recíproco de Cauchy, em que
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores unitários,
e
, e um ponto
em um meio contínuo. A força de superfície
atua sobre uma pequena área
com vetor normal
. A questão quer que a gente mostre o teorema recíproco de Cauchy, que basicamente diz que a componente dessa força na direção de
é igual à componente da força na direção de
quando trocamos os vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores, produtos escalares e as propriedades das forças em meios contínuos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse é o produto escalar entre o vetor normal
e a força de superfície
. O produto escalar nos dá a componente da força na direção do vetor normal.
Passo 3
Agora, segundo o teorema de Cauchy, sabemos que a força de superfície pode ser representada por um tensor de tensões
, tal que:
Isso significa que a força depende tanto do vetor normal quanto das tensões no ponto
.
Passo 4
Vamos calcular
usando a expressão acima:
Pelo produto associativo dos produtos escalares, isso fica:
Passo 5
Agora, vamos considerar
. Seguindo o mesmo raciocínio:
Passo 6
O teorema recíproco de Cauchy afirma que
. Isso significa que:
Portanto, mostramos que as componentes das forças são recíprocas quando trocamos os vetores normais.
Resposta
Concluímos que
, comprovando assim o teorema recíproco de Cauchy.