Sejam e dois vetores unitários quaisquer e um ponto em um meio contínuo. é a força de superfície sobre um pequeno elemento de área em com vetor normal unitário apontando para fora, da mesma forma é a componente da força na direção de . Mostre o teorema recíproco de Cauchy, em que .

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores unitários, e , e um ponto em um meio contínuo. A força de superfície atua sobre uma pequena área com vetor normal . A questão quer que a gente mostre o teorema recíproco de Cauchy, que basicamente diz que a componente dessa força na direção de é igual à componente da força na direção de quando trocamos os vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores, produtos escalares e as propriedades das forças em meios contínuos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse é o produto escalar entre o vetor normal e a força de superfície . O produto escalar nos dá a componente da força na direção do vetor normal.

Passo 3

Agora, segundo o teorema de Cauchy, sabemos que a força de superfície pode ser representada por um tensor de tensões , tal que:
Isso significa que a força depende tanto do vetor normal quanto das tensões no ponto .

Passo 4

Vamos calcular usando a expressão acima:
Pelo produto associativo dos produtos escalares, isso fica:

Passo 5

Agora, vamos considerar . Seguindo o mesmo raciocínio:

Passo 6

O teorema recíproco de Cauchy afirma que . Isso significa que:
Portanto, mostramos que as componentes das forças são recíprocas quando trocamos os vetores normais.

Resposta

Concluímos que , comprovando assim o teorema recíproco de Cauchy.

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