Uma roda dẹ raio
gira com aceleraçăo angular uniforme, de tal maneira que o número de revoluçȯes aumenta de
volta por segundo. Calcule em funçăo do tempo: (b) a velocidade tangencial na periferia;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma roda de raio
que está girando com aceleração angular uniforme. Isso significa que a velocidade angular da roda está aumentando de forma constante ao longo do tempo. O enunciado nos diz que o número de revoluções por segundo está aumentando a uma taxa de
volta por segundo. Nosso objetivo aqui é calcular, em função do tempo
, a velocidade tangencial na periferia da roda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como velocidade angular e aceleração angular, além das relações entre frequência e velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a frequência de rotação
e a velocidade angular
. A frequência
é o número de voltas completas que a roda dá por segundo, e está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Aqui,
está em radianos por segundo.
Passo 3
Como a frequência está aumentando a uma taxa de
volta por segundo, isso significa que a aceleração angular
é constante. Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Dado que
está aumentando a
, temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a velocidade angular
em função do tempo. Como a aceleração angular é constante, podemos integrar
em relação ao tempo para encontrar
:
Aqui,
é a velocidade angular inicial no tempo
. Se considerarmos que a roda parte do repouso, então
, simplificando para:
Passo 5
Com a velocidade angular
encontrada, podemos agora calcular a velocidade tangencial
na periferia da roda. A velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Substituindo
que encontramos:
Resposta
A velocidade tangencial na periferia da roda em função do tempo é: