Demonstramos em (8.49) que qualquer órbita de Kepler pode ser escrita na forma
, onde
e
. Para o caso em que
, reexpresse essa equação nas coordenadas retangulares
e mostre que a equação pode ser posta na forma (8.51), que é a equação de uma elipse. Verfique os valores das constantes dadas em (8.52).
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de mecânica celeste, mais especificamente sobre as órbitas de Kepler. A ideia é pegar a equação dada para qualquer órbita de Kepler em coordenadas polares e transformar ela pra coordenadas retangulares. A gente precisa mostrar que, quando o parâmetro de excentricidade
está entre 0 e 1, essa equação descreve uma elipse. Para resolver isso, vamos usar conversão de coordenadas polares para retangulares e propriedades das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação dada para a órbita de Kepler em coordenadas polares:
Aqui,
é a distância do corpo central,
é o ângulo,
é uma constante positiva, e
é a excentricidade.
Passo 3
Agora, precisamos converter essa equação para coordenadas retangulares
. Sabemos que em coordenadas polares:
Então, vamos substituir
da equação da órbita nessas expressões.
Passo 4
Substituindo
na equação de
:
E para
:
Passo 5
Queremos eliminar
para obter uma relação somente entre
e
. Vamos resolver a equação de
para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na equação de
:
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Passo 7
Sabemos que
. Vamos usar isso para expressar
em termos de
:
Substituindo na equação de
:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 9
Agora, reorganizamos a equação:
Vamos dividir todos os termos por
para facilitar a comparação com a equação padrão da elipse:
Simplificando:
Passo 10
Para que essa equação represente uma elipse, precisamos que o coeficiente de
seja positivo. Como
,
é negativo. Vamos multiplicar a equação por
para tornar positivo:
Reorganizando:
Passo 11
Comparamos com a equação padrão de uma elipse:
Podemos identificar que os valores das constantes correspondentes são:
Resposta
Assim, conseguimos reescrever a equação da órbita de Kepler em coordenadas retangulares como a equação de uma elipse:
E os valores das constantes são: