Demonstramos em (8.49) que qualquer órbita de Kepler pode ser escrita na forma , onde e . Para o caso em que , reexpresse essa equação nas coordenadas retangulares e mostre que a equação pode ser posta na forma (8.51), que é a equação de uma elipse. Verfique os valores das constantes dadas em (8.52).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de mecânica celeste, mais especificamente sobre as órbitas de Kepler. A ideia é pegar a equação dada para qualquer órbita de Kepler em coordenadas polares e transformar ela pra coordenadas retangulares. A gente precisa mostrar que, quando o parâmetro de excentricidade está entre 0 e 1, essa equação descreve uma elipse. Para resolver isso, vamos usar conversão de coordenadas polares para retangulares e propriedades das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação dada para a órbita de Kepler em coordenadas polares:
Aqui, é a distância do corpo central, é o ângulo, é uma constante positiva, e é a excentricidade.

Passo 3

Agora, precisamos converter essa equação para coordenadas retangulares . Sabemos que em coordenadas polares:
Então, vamos substituir da equação da órbita nessas expressões.

Passo 4

Substituindo na equação de :
E para :

Passo 5

Queremos eliminar para obter uma relação somente entre e . Vamos resolver a equação de para :

Passo 6

Agora, vamos substituir na equação de :
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por :

Passo 7

Sabemos que . Vamos usar isso para expressar em termos de :
Substituindo na equação de :

Passo 8

Para simplificar ainda mais, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 9

Agora, reorganizamos a equação:
Vamos dividir todos os termos por para facilitar a comparação com a equação padrão da elipse:
Simplificando:

Passo 10

Para que essa equação represente uma elipse, precisamos que o coeficiente de seja positivo. Como , é negativo. Vamos multiplicar a equação por para tornar positivo:
Reorganizando:

Passo 11

Comparamos com a equação padrão de uma elipse:
Podemos identificar que os valores das constantes correspondentes são:

Resposta

Assim, conseguimos reescrever a equação da órbita de Kepler em coordenadas retangulares como a equação de uma elipse:
E os valores das constantes são:

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