Um passo crucial na demonstração de que ondas em um fluido são necessariamente longitudinais foi a integral em (16.142). Para qualquer função arbitrária , com derivada , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, ao integrar a derivada de uma função qualquer em relação ao tempo , a gente chega em . Isso está relacionado com o cálculo de integrais e derivadas, especialmente quando lidamos com funções compostas. Vamos precisar usar uma técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é a derivada de em relação ao seu argumento. Nosso objetivo é integrar essa derivada em relação ao tempo .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar de o argumento da função , ou seja:
Agora, precisamos descobrir a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a relacionar com .

Passo 4

Rearranjando a expressão da derivada, temos:
Agora, vamos substituir por e por na integral original:

Passo 5

Podemos tirar a constante para fora da integral:
Sabemos que a integral da derivada de uma função é a própria função mais uma constante de integração. Como estamos lidando com uma função arbitrária, vamos considerar apenas a função sem a constante:

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta pela expressão original:

Resposta

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