Um passo crucial na demonstração de que ondas em um fluido são necessariamente longitudinais foi a integral em (16.142). Para qualquer função arbitrária
, com derivada
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, ao integrar a derivada de uma função qualquer
em relação ao tempo
, a gente chega em
. Isso está relacionado com o cálculo de integrais e derivadas, especialmente quando lidamos com funções compostas. Vamos precisar usar uma técnica de substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é a derivada de
em relação ao seu argumento. Nosso objetivo é integrar essa derivada em relação ao tempo
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar de
o argumento da função
, ou seja:
Agora, precisamos descobrir a derivada de
em relação a
:
Isso nos ajuda a relacionar
com
.
Passo 4
Rearranjando a expressão da derivada, temos:
Agora, vamos substituir
por
e
por
na integral original:
Passo 5
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Sabemos que a integral da derivada de uma função é a própria função mais uma constante de integração. Como estamos lidando com uma função arbitrária, vamos considerar apenas a função sem a constante:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta pela expressão original: