Uma partícula de massa se move com momento angular em um campo de uma força central fixa com
onde e são positivos. © Para quais valores de a órbita é fechada? O que acontece com os resultados quando ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma partícula de massa que está se movendo com um momento angular sob a influência de uma força central dada por:
onde e são positivos. O que a gente precisa descobrir é para quais valores de a órbita dessa partícula é fechada. Além disso, queremos saber o que acontece com os resultados quando tende a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica sobre movimentos em campos de forças centrais e analisar as condições para órbitas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma força central , a energia efetiva total de uma partícula é dada por:
onde é o potencial associado à força . Como , podemos encontrar integrando :
Podemos ignorar a constante pois não afeta o movimento.

Passo 3

Agora, vamos analisar as condições para órbitas fechadas. Segundo o Teorema de Bertrand, apenas duas formas de potenciais garantem que todas as órbitas sejam fechadas:
  1. Potencial central proporcional a (Força de Coulomb ou Gravitacional).
  2. Potencial central proporcional a (Oscilador Harmônico).
No nosso caso, o potencial tem termos de e , o que não se encaixa diretamente nas condições do Teorema de Bertrand. Portanto, para ter órbitas fechadas, precisamos que o termo de seja tal que o potencial efetivo se assemelhe a um dos potenciais que garantem órbitas fechadas.

Passo 4

Vamos considerar o potencial efetivo:
Podemos combinar os termos de :
Para que o potencial efetivo se assemelhe ao potencial do Coulomb ou Gravitacional, precisamos que o termo de seja nulo ou um múltiplo adequado para manter a condição do Teorema de Bertrand.

Passo 5

Vamos analisar quando o termo de desaparece:
Nesse caso, o potencial efetivo simplifica para:
Que é o potencial que, segundo Bertrand, garante órbitas fechadas. Portanto, a condição para órbitas fechadas é:
Isso implica que deve ser escolhido de forma que essa igualdade seja satisfeita. Se está relacionado à relação entre e , então .

Passo 6

Agora, vamos ver o que acontece quando tende a zero. Se , a força central fica apenas com o termo de :
Nesse caso, o potencial efetivo se torna:
Esse é o potencial do campo de força gravitacional ou elétrico, para o qual as órbitas são fechadas de acordo com o Teorema de Bertrand. Portanto, quando , a condição para órbitas fechadas ainda é válida, e .

Resposta

As órbitas são fechadas quando . Além disso, quando tende a zero, a condição para órbitas fechadas continua sendo satisfeita, ou seja, .

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