Uma partícula de massa
se move com momento angular
em um campo de uma força central fixa com
onde
e
são positivos. © Para quais valores de
a órbita é fechada? O que acontece com os resultados quando
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma partícula de massa
que está se movendo com um momento angular
sob a influência de uma força central dada por:
onde
e
são positivos. O que a gente precisa descobrir é para quais valores de
a órbita dessa partícula é fechada. Além disso, queremos saber o que acontece com os resultados quando
tende a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica sobre movimentos em campos de forças centrais e analisar as condições para órbitas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma força central
, a energia efetiva total de uma partícula é dada por:
onde
é o potencial associado à força
. Como
, podemos encontrar
integrando
:
Podemos ignorar a constante
pois não afeta o movimento.
Passo 3
Agora, vamos analisar as condições para órbitas fechadas. Segundo o Teorema de Bertrand, apenas duas formas de potenciais garantem que todas as órbitas sejam fechadas:
- Potencial central
proporcional a (Força de Coulomb ou Gravitacional). - Potencial central
proporcional a (Oscilador Harmônico).
No nosso caso, o potencial tem termos de
e
, o que não se encaixa diretamente nas condições do Teorema de Bertrand. Portanto, para ter órbitas fechadas, precisamos que o termo de
seja tal que o potencial efetivo se assemelhe a um dos potenciais que garantem órbitas fechadas.
Passo 4
Vamos considerar o potencial efetivo:
Podemos combinar os termos de
:
Para que o potencial efetivo se assemelhe ao potencial do Coulomb ou Gravitacional, precisamos que o termo de
seja nulo ou um múltiplo adequado para manter a condição do Teorema de Bertrand.
Passo 5
Vamos analisar quando o termo de
desaparece:
Nesse caso, o potencial efetivo simplifica para:
Que é o potencial que, segundo Bertrand, garante órbitas fechadas. Portanto, a condição para órbitas fechadas é:
Isso implica que
deve ser escolhido de forma que essa igualdade seja satisfeita. Se
está relacionado à relação entre
e
, então
.
Passo 6
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende a zero. Se
, a força central fica apenas com o termo de
:
Nesse caso, o potencial efetivo se torna:
Esse é o potencial do campo de força gravitacional ou elétrico, para o qual as órbitas são fechadas de acordo com o Teorema de Bertrand. Portanto, quando
, a condição para órbitas fechadas ainda é válida, e
.
Resposta
As órbitas são fechadas quando
. Além disso, quando
tende a zero, a condição para órbitas fechadas continua sendo satisfeita, ou seja,
.