Fixada base de , determine se os seguintes conjuntos são LI ou LD:
(1) , onde
(2) , onde e
(3) , onde
(4) , onde .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma base para e precisamos verificar se certos conjuntos de vetores são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre dependência linear.
Dependência Linear: Um conjunto de vetores é dito linearmente dependente se pelo menos um dos vetores puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Caso contrário, eles são linearmente independentes.
Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte (1): Conjunto com e
Primeiro, vamos verificar se existe alguma combinação linear que satisfaça , onde e são escalares.
Escrevendo isso em coordenadas:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Parte (2): Conjunto a cdot (1,-3,14) + b cdot (114, -314, 1) = (0,0,0) com a + 114b = 0 -3a - 314b = 0 14a + b = 0 e
Vamos novamente verificar se existe uma combinação não trivial (ou seja, diferente de zero) que resulte no vetor nulo.
Escrevendo :
Isso dá o sistema:
Vamos resolver:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira: (OK)
Substituindo na segunda: (OK)
Isso significa que existem infinitas soluções onde . Portanto, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 4
Parte (3): Conjunto com
Um conjunto com apenas um vetor nunca é linearmente dependente, a menos que o vetor seja o vetor nulo. Como , o conjunto é linearmente independente.
Aqui temos três vetores em 2 & -1 1 & -7 = (2)(-7) - (-1)(1) = -14 +1 = -13 . Para verificar a independência, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes; caso contrário, dependentes.