Seja uma base ortonormal de V^3. Mostre que dado u in V^3, vale que:
u=(u cdot e1) e1+(u cdot e2) e2+(u cdot e3) e3
Passo 1
Então, a gente tem um trio de vetores (e1, e2, e3) que formam uma base ortonormal do espaço V^3. O exercício pede pra gente mostrar que qualquer vetor u nesse espaço pode ser escrito como a soma dos produtos escalar de u com cada um dos vetores da base, multiplicados de volta pelo vetor da base. Vamos usar conceitos de álgebra linear como bases, ortonormalidade e produtos escalares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si (ortogonais) e cada um tem comprimento 1 (normalizados). Isso nos facilita porque o produto escalar entre vetores diferentes da base é zero, e o produto escalar de um vetor da base consigo mesmo é 1.
Passo 3
Agora, qualquer vetor u in V^3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja:
u = a1e1 + a2e2 + a3e3
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes a1, a2 e a3.
Passo 4
Para achar esses coeficientes, a gente usa o produto escalar. Vamos fazer o produto escalar de u com cada vetor da base: