Seja B=(v1, v2, v3) uma base de V^3 e considere os vetores u1, u2 e u3 definidos como:
u1=v1+v2+v3 u2=v1+v2 e u3=v3
Decida se C=(u1, u2, u3) é base de V^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma base u1 = v1 + v2 + v3, u2 = v1 + v2, u3 = v3 de um espaço vetorial . Também são fornecidos três novos vetores:
A pergunta é: o conjunto também é uma base de ? Para responder isso, precisamos entender o que define uma base e quais propriedades os vetores devem ter para formar uma base.

Passo 2

Uma base de um espaço vetorial deve satisfazer duas condições principais:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Gerar o Espaço: Qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Como já é uma base, sabemos que são linearmente independentes e geram .

Passo 3

Para verificar se M = u1 & u2 & u3 = v1 + v2 + v3 & v1 + v2 & v3 é uma base, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos construir a matriz:

Passo 4

Sabemos que u1 = 1v1 + 1v2 + 1v3, u2 = 1v1 + 1v2 + 0v3, u3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 é uma base, portanto, podemos expressar M = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 em termos da matriz identidade . Vamos reescrever os vetores como combinações lineares de :
Assim, a matriz em termos da base fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de det(M) = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 :
det(M) = 1 cdot 1 & 0 0 & 1 - 1 cdot 1 & 0 1 & 1 + 0 cdot 1 & 1 1 & 0
Podemos expandir o determinante:
1 & 0 0 & 1 = (1)(1) - (0)(0) = 1, 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1
Calculando cada menor:
det(M) = 1 cdot 1 - 1 cdot 1 + 0 cdot (qualquer valor) = 1 - 1 + 0 = 0
Então:

Resposta

Como o determinante de é igual a zero ( ), os vetores são linearmente dependentes. Portanto, o conjunto não é uma base de .

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