u=(1,-1,3) pode ser escrito como combinação linear de v=(-1,1, O) e w=(2,3,3) ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o vetor u = (1, -1, 3) e queremos saber se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v = (-1, 1, 0) e w = (2, 3, 3). Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que u é uma combinação linear de v e w se existir algum número real a e b tais que:
u = av + bw
Isso quer dizer que podemos multiplicar cada vetor por um escalar e somá-los para obter u.

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação:
(1, -1, 3) = a(-1, 1, 0) + b(2, 3, 3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações para resolver:
- a + 2b = 1 a + 3b = -1 0a + 3b = 3

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação, pois é mais simples:
3b = 3 implies b = 1

Passo 5

Agora que encontramos b = 1, substituímos na segunda equação para encontrar a:
a + 3(1) = -1 a + 3 = -1 a = -1 - 3 a = -4

Passo 6

Com a = -4 e b = 1, temos:
u = -4v + 1w
Vamos verificar se isso realmente dá u:
-4(-1, 1, 0) + 1(2, 3, 3) = (4, -4, 0) + (2, 3, 3) = (4+2, -4+3, 0+3) = (6, -1, 3)
Notamos que o primeiro componente ficou diferente do esperado (6 em vez de 1), então houve um erro.

Passo 7

Vamos revisar nossos cálculos. Na terceira equação, encontramos b = 1, mas ao substituir na primeira equação:
-(-4) + 2(1) = 4 + 2 = 6 neq 1
Isso mostra que não há valores de a e b que satisfazem todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Não, o vetor u = (1, -1, 3) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores v = (-1, 1, 0) e w = (2, 3, 3).

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