Fixado uma base ortonormal, mostre que é uma base para , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma base ortonormal no espaço tridimensional . O exercício pede para mostrar que outra coleção de vetores , definida por:
é também uma base para . Para isso, precisamos lembrar que uma base num espaço vetorial precisa ter vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Vamos precisar usar conceitos de combinações lineares e determinantes para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são combinações lineares. Dizer que os vetores são linearmente independentes significa que a única solução para a equação:
é quando . Se conseguirmos provar isso, já garantimos que os vetores são uma base.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz :
Vamos fazer passo a passo:

Passo 5

Vimos que o determinante , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Além disso, como temos três vetores em e eles são independentes, eles também geram todo o espaço. Portanto, é uma base para .

Resposta

Os vetores formam uma base para porque são linearmente independentes e geram todo o espaço.

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes e . Determine
Sejam e pontos do espaço. Calcule o módulo dos vetores e .
Dadas as matrizes e . Determine
Resolva o sistema linear dado por qualquer método: