Fixado uma base E=(e1, e2, e3) ortonormal, mostre que F=(f1, f2, f3) é uma base para V^3, onde
& f1=2 e1-e2 & f2=e1-e2+2 e3 & f3=e1+2 e3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma base ortonormal & f1 = 2 e1 - e2 & f2 = e1 - e2 + 2 e3 & f3 = e1 + 2 e3 no espaço tridimensional . O exercício pede para mostrar que outra coleção de vetores , definida por:
é também uma base para . Para isso, precisamos lembrar que uma base num espaço vetorial precisa ter vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Vamos precisar usar conceitos de combinações lineares e determinantes para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são combinações lineares. Dizer que os vetores a f1 + b f2 + c f3 = 0 são linearmente independentes significa que a única solução para a equação:
é quando . Se conseguirmos provar isso, já garantimos que os vetores são uma base.

Passo 3

Vamos montar uma matriz com os vetores A = 2 & 1 & 1 -1 & -1 & 0 0 & 2 & 2 como colunas:
Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 cdot ( (-1)(2) - (0)(2) ) - 1 cdot ( (-1)(2) - (0)(0) ) + 1 cdot ( (-1)(2) - (-1)(0) ) :
det(A) = 2 cdot (-2 - 0) - 1 cdot (-2 - 0) + 1 cdot (-2 - 0) = 2 cdot (-2) - 1 cdot (-2) + 1 cdot (-2)
Vamos fazer passo a passo:
det(A) = -4 + 2 - 2 = -4

Passo 5

Vimos que o determinante , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Além disso, como temos três vetores em e eles são independentes, eles também geram todo o espaço. Portanto, é uma base para .

Resposta

Os vetores formam uma base para porque são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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