Fixado um domínio compacto com fronteira regular em , com , use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema envolvendo equações diferenciais parciais (EDPs), especificamente a equação de Laplace. Nosso objetivo aqui é mostrar que a única solução possível para a EDP dada, dentro de um domínio compacto com fronteira regular, é a solução trivial .
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como ele se aplica em e . Também vamos usar conceitos de cálculo vetorial e propriedades de funções harmônicas (funções que satisfazem ).

Passo 2

Primeiramente, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a divergência de um campo vetorial dentro de um domínio com o fluxo desse campo através da fronteira do domínio. Em termos matemáticos:
Onde:
  • é o domínio compacto,
  • é a fronteira de ,
  • é um campo vetorial suave,
  • é o vetor normal à fronteira.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teorema à nossa EDP. Queremos mostrar que qualquer solução que satisfaz em e em deve ser identicamente zero.
Começamos multiplicando a equação por e integrando sobre :

Passo 4

Vamos reescrever o termo usando a identidade de integração por partes:
Aqui, representa a derivada normal de na fronteira.

Passo 5

Sabemos que na fronteira , . Isso implica que o termo de contorno também é zero, já que . Portanto, temos:

Passo 6

A integral de é sempre não negativa, já que é o quadrado da magnitude do gradiente de . Portanto, se essa integral é igual a zero, isso significa que em todo o domínio .

Passo 7

Se em , então deve ser constante em . Mas como na fronteira , essa constante deve ser zero. Logo, a única solução possível é em todo o domínio.

Resposta

Portanto, a única solução da EDP é em .

Exercícios relacionados

Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) , para todo vetor constante .
Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
(b) (Teorema de Cauchy) Conclua do item anterior que
para todo caminho simples fechado , que é fronteira de um domínio regular contido em .
Sugestão: Quanto ao item (b), use as identidades e aplique o teorema de Green duas vezes.
Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então e são harmônicas, ou seja, vale . Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que .
Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de é dado por
sendo .