Fixado um domínio compacto
com fronteira regular
em
, com
, use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula
.
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo
.
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema envolvendo equações diferenciais parciais (EDPs), especificamente a equação de Laplace. Nosso objetivo aqui é mostrar que a única solução possível para a EDP dada, dentro de um domínio compacto com fronteira regular, é a solução trivial
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema da Divergência e como ele se aplica em
e
. Também vamos usar conceitos de cálculo vetorial e propriedades de funções harmônicas (funções que satisfazem
).
Passo 2
Primeiramente, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a divergência de um campo vetorial dentro de um domínio com o fluxo desse campo através da fronteira do domínio. Em termos matemáticos:
Onde:
-
é o domínio compacto, -
é a fronteira de , -
é um campo vetorial suave, -
é o vetor normal à fronteira.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse teorema à nossa EDP. Queremos mostrar que qualquer solução
que satisfaz
em
e
em
deve ser identicamente zero.
Começamos multiplicando a equação
por
e integrando sobre
:
Passo 4
Vamos reescrever o termo
usando a identidade de integração por partes:
Aqui,
representa a derivada normal de
na fronteira.
Passo 5
Sabemos que na fronteira
,
. Isso implica que o termo de contorno
também é zero, já que
. Portanto, temos:
Passo 6
A integral de
é sempre não negativa, já que é o quadrado da magnitude do gradiente de
. Portanto, se essa integral é igual a zero, isso significa que
em todo o domínio
.
Passo 7
Se
em
, então
deve ser constante em
. Mas como
na fronteira
, essa constante deve ser zero. Logo, a única solução possível é
em todo o domínio.
Resposta
Portanto, a única solução da EDP é
em
.