Seja C o conjunto dos números complexos ^2 Omega subset C um aberto. Uma função f: Omega C é dita holomorfa em Omega, quando existe o limite
f^prime(a)=lim z a f(z)-f(a)z-a
para todo a in Omega.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se f=u+i v é holomorfa, então u e v são harmônicas, ou seja, vale De. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complexa definida em um conjunto aberto do conjunto dos números complexos . O que precisamos mostrar aqui é que, se essa função é holomorfa em , então as partes reais e são funções harmônicas, ou seja, elas satisfazem . Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na análise de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x ser holomorfa em , as funções e devem ter derivadas parciais contínuas e satisfazerem:
Essas equações garantem que a função é diferenciável no sentido complexo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o laplaciano de De, que é dado por:
partial upartial x = partial vpartial y Rightarrow partial^2 upartial x^2 = partial^2 vpartial y partial x
Usando as Equações de Cauchy-Riemann, podemos substituir as derivadas de partial upartial y = -partial vpartial x Rightarrow partial^2 upartial y^2 = -partial^2 vpartial x^2 em termos de De. Por exemplo, da primeira equação de C-R:
De
E da segunda equação:
Somando essas duas expressões:
Como as derivadas cruzadas são iguais ( ), vemos que:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular o laplaciano de De:
partial vpartial x = -partial upartial y Rightarrow partial^2 vpartial x^2 = -partial^2 upartial y partial x
Usando as Equações de C-R novamente:
partial vpartial y = partial upartial x Rightarrow partial^2 vpartial y^2 = partial^2 upartial x partial y
De
Somando:
Então, também .

Passo 5

Agora, para exemplificar funções harmônicas a partir de funções holomorfas, vamos considerar uma função simples como u(x, y) = x e v(x, y) = y , onde De. Então:
De
Calculando os laplacianos:
Portanto, e são funções harmônicas.

Resposta

Usando as Equações de Cauchy-Riemann, demonstramos que se é holomorfa em , então as funções e são harmônicas ( ). Um exemplo de funções harmônicas derivadas de uma função holomorfa é e .

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