Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então e são harmônicas, ou seja, vale . Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complexa definida em um conjunto aberto do conjunto dos números complexos . O que precisamos mostrar aqui é que, se essa função é holomorfa em , então as partes reais e são funções harmônicas, ou seja, elas satisfazem . Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na análise de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser holomorfa em , as funções e devem ter derivadas parciais contínuas e satisfazerem:
Essas equações garantem que a função é diferenciável no sentido complexo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o laplaciano de , que é dado por:
Usando as Equações de Cauchy-Riemann, podemos substituir as derivadas de em termos de . Por exemplo, da primeira equação de C-R:
E da segunda equação:
Somando essas duas expressões:
Como as derivadas cruzadas são iguais ( ), vemos que:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular o laplaciano de :
Usando as Equações de C-R novamente:
Somando:
Então, também .

Passo 5

Agora, para exemplificar funções harmônicas a partir de funções holomorfas, vamos considerar uma função simples como , onde . Então:
Calculando os laplacianos:
Portanto, e são funções harmônicas.

Resposta

Usando as Equações de Cauchy-Riemann, demonstramos que se é holomorfa em , então as funções e são harmônicas ( ). Um exemplo de funções harmônicas derivadas de uma função holomorfa é e .

Exercícios relacionados

Fixado um domínio compacto com fronteira regular em , com , use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .
Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) , para todo vetor constante .
Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de é dado por
sendo .
Fixados um domínio compacto com fronteira regular , , e funções suaves e , demonstre que a EDP
admite no máximo uma solução .
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.