Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função complexa
definida em um conjunto aberto
do conjunto dos números complexos
. O que precisamos mostrar aqui é que, se essa função é holomorfa em
, então as partes reais
e
são funções harmônicas, ou seja, elas satisfazem
. Para isso, vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na análise de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função
ser holomorfa em
, as funções
e
devem ter derivadas parciais contínuas e satisfazerem:
Essas equações garantem que a função é diferenciável no sentido complexo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o laplaciano de
, que é dado por:
Usando as Equações de Cauchy-Riemann, podemos substituir as derivadas de
em termos de
. Por exemplo, da primeira equação de C-R:
E da segunda equação:
Somando essas duas expressões:
Como as derivadas cruzadas são iguais (
), vemos que:
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular o laplaciano de
:
Usando as Equações de C-R novamente:
Somando:
Então, também
.
Passo 5
Agora, para exemplificar funções harmônicas a partir de funções holomorfas, vamos considerar uma função simples como
, onde
. Então:
Calculando os laplacianos:
Portanto,
e
são funções harmônicas.
Resposta
Usando as Equações de Cauchy-Riemann, demonstramos que se
é holomorfa em
, então as funções
e
são harmônicas (
). Um exemplo de funções harmônicas derivadas de uma função holomorfa é
e
.
Exercícios relacionados
Fixado um domínio compacto
com fronteira regular
em
, com
, use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula
.
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(a) , para todo vetor constante
.
(a)
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de é dado por
(b) o volume de
sendo
.
Fixados um domínio compacto
com fronteira regular
,
, e funções suaves
e
, demonstre que a EDP
admite no máximo uma solução
.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.