Suponha que a região sólida Omega subset R^3 e a superfície S=partial Omega, orientada pelo campo unitário normal n, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de Omega é dado por
V(Omega)=13 integral duplaS F d S
sendo F(x, y, z)=x i+y j+z k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema da Divergência para mostrar que o volume de uma região sólida em pode ser calculado através de uma integral de superfície envolvendo o vetor . Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? É um resultado da análise vetorial que relaciona uma integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot dS = integral triplaOmega nabla cdot F , dV sobre a fronteira de uma região sólida com uma integral de volume da divergência de dentro de . Matematicamente, ele é expresso por:
Aqui, é a divergência de , que mede como o campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em cada ponto.

Passo 3

Agora, queremos relacionar isso ao volume nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z) = 1 + 1 + 1 = 3 da região sólida. Para isso, vamos calcular a divergência do vetor :

Passo 4

Substituindo a divergência encontrada na fórmula do Teorema da Divergência, temos:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaOmega 3 , dV = 3 V(Omega)
Aqui, é simplesmente 3 vezes o volume de , porque estamos integrando a constante 3 sobre todo o volume.

Passo 5

Agora, isolamos 3 V(Omega) = integral duplaS F cdot dS Rightarrow V(Omega) = 13 integral duplaS F cdot dS na equação:

Resposta

Portanto, demonstramos que o volume de V(Omega) = 13 integral duplaS F cdot dS é dado por:

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