Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de é dado por
sendo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema da Divergência para mostrar que o volume de uma região sólida em pode ser calculado através de uma integral de superfície envolvendo o vetor . Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? É um resultado da análise vetorial que relaciona uma integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de uma região sólida com uma integral de volume da divergência de dentro de . Matematicamente, ele é expresso por:
Aqui, é a divergência de , que mede como o campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em cada ponto.

Passo 3

Agora, queremos relacionar isso ao volume da região sólida. Para isso, vamos calcular a divergência do vetor :

Passo 4

Substituindo a divergência encontrada na fórmula do Teorema da Divergência, temos:
Aqui, é simplesmente 3 vezes o volume de , porque estamos integrando a constante 3 sobre todo o volume.

Passo 5

Agora, isolamos na equação:

Resposta

Portanto, demonstramos que o volume de é dado por:

Exercícios relacionados

Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então e são harmônicas, ou seja, vale . Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que .
Fixado um domínio compacto com fronteira regular em , com , use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .
Fixados um domínio compacto com fronteira regular , , e funções suaves e , demonstre que a EDP
admite no máximo uma solução .
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em , então valem as identidades
em todos os pontos de .
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados.