Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de
é dado por
sendo
.
(b) o volume de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema da Divergência para mostrar que o volume de uma região sólida
em
pode ser calculado através de uma integral de superfície envolvendo o vetor
. Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? É um resultado da análise vetorial que relaciona uma integral de superfície de um campo vetorial
sobre a fronteira
de uma região sólida
com uma integral de volume da divergência de
dentro de
. Matematicamente, ele é expresso por:
Aqui,
é a divergência de
, que mede como o campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em cada ponto.
Passo 3
Agora, queremos relacionar isso ao volume
da região sólida. Para isso, vamos calcular a divergência do vetor
:
Passo 4
Substituindo a divergência encontrada na fórmula do Teorema da Divergência, temos:
Aqui,
é simplesmente 3 vezes o volume de
, porque estamos integrando a constante 3 sobre todo o volume.
Passo 5
Agora, isolamos
na equação:
Resposta
Portanto, demonstramos que o volume de
é dado por: