Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de
é dado por
sendo
.
(b) o volume de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema da Divergência para mostrar que o volume de uma região sólida
em
pode ser calculado através de uma integral de superfície envolvendo o vetor
. Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema da Divergência? É um resultado da análise vetorial que relaciona uma integral de superfície de um campo vetorial
sobre a fronteira
de uma região sólida
com uma integral de volume da divergência de
dentro de
. Matematicamente, ele é expresso por:
Aqui,
é a divergência de
, que mede como o campo vetorial está “saindo” ou “entrando” em cada ponto.
Passo 3
Agora, queremos relacionar isso ao volume
da região sólida. Para isso, vamos calcular a divergência do vetor
:
Passo 4
Substituindo a divergência encontrada na fórmula do Teorema da Divergência, temos:
Aqui,
é simplesmente 3 vezes o volume de
, porque estamos integrando a constante 3 sobre todo o volume.
Passo 5
Agora, isolamos
na equação:
Resposta
Portanto, demonstramos que o volume de
é dado por:
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então
e
são harmônicas, ou seja, vale
. Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que .
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que
Fixado um domínio compacto
com fronteira regular
em
, com
, use o Teorema da Divergência no plano e no espaço para demonstrar que a Equação Diferencial Parcial (EDP)
só admite a solução identicamente nula
.
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo .
Sugestão: Para o estudo da primeira EDP, use aplique o resultado obtido no item (d) do exercício anterior, fazendo
Fixados um domínio compacto
com fronteira regular
,
, e funções suaves
e
, demonstre que a EDP
admite no máximo uma solução
.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
é holomorfa em
, então valem as identidades
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
em todos os pontos de
.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada