Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço :
A questão quer que a gente mostre que esses vetores são linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se existem coeficientes que satisfaçam essa condição.
Passo 2
Vamos assumir que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e . Ou seja, existem números escalares e tais que:
Isso nos dá a seguinte equação vetorial:
Passo 3
Agora, vamos escrever as componentes dessa equação. Isso significa que cada componente do vetor à esquerda deve ser igual à soma das componentes correspondentes à direita:
Passo 4
Simplificando as equações, temos:
2 = b 3 = a 2 = b 3 = a
Observamos que as equações para b e a são consistentes:
b = 2 e a = 3
Passo 5
Como encontramos valores de a e b que satisfazem todas as equações, isso significa que:
v3 = 3 cdot v1 + 2 cdot v2
Portanto, o vetor v3 é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.
Resposta
Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes porque v3 = 3 cdot v1 + 2 cdot v2.