Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço :
A questão quer que a gente mostre que esses vetores são linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se existem coeficientes que satisfaçam essa condição.
Passo 2
Vamos assumir que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e . Ou seja, existem números escalares e tais que:
Isso nos dá a seguinte equação vetorial:
Passo 3
Agora, vamos escrever as componentes dessa equação. Isso significa que cada componente do vetor à esquerda deve ser igual à soma das componentes correspondentes à direita:
Passo 4
Simplificando as equações, temos:
Observamos que as equações para e são consistentes:
Passo 5
Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, isso significa que:
Portanto, o vetor é uma combinação linear dos vetores e .
Resposta
Os vetores , e são linearmente dependentes porque .