Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço :
A questão quer que a gente mostre que esses vetores são linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se existem coeficientes que satisfaçam essa condição.

Passo 2

Vamos assumir que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e . Ou seja, existem números escalares e tais que:
Isso nos dá a seguinte equação vetorial:

Passo 3

Agora, vamos escrever as componentes dessa equação. Isso significa que cada componente do vetor à esquerda deve ser igual à soma das componentes correspondentes à direita:

Passo 4

Simplificando as equações, temos:
Observamos que as equações para e são consistentes:

Passo 5

Como encontramos valores de e que satisfazem todas as equações, isso significa que:
Portanto, o vetor é uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes porque .

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Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
;
Agora, considere o sistema linear
(iv) Resolva o sistema linear usando (calculada em (iii))
Mostre que não existem matrizes quadradas e de ordem , tais que