Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Em R^4, v1=(0,1,0,1), v2=(1,0,1,0), v3=(2,3,2,3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço R^4:
v1 = (0,1,0,1), v2 = (1,0,1,0), v3 = (2,3,2,3)
A questão quer que a gente mostre que esses vetores são linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se existem coeficientes que satisfaçam essa condição.

Passo 2

Vamos assumir que o vetor v3 pode ser escrito como uma combinação linear de v1 e v2. Ou seja, existem números escalares a e b tais que:
v3 = a cdot v1 + b cdot v2
Isso nos dá a seguinte equação vetorial:
(2,3,2,3) = a cdot (0,1,0,1) + b cdot (1,0,1,0)

Passo 3

Agora, vamos escrever as componentes dessa equação. Isso significa que cada componente do vetor à esquerda deve ser igual à soma das componentes correspondentes à direita:
2 = 0 cdot a + 1 cdot b 3 = 1 cdot a + 0 cdot b 2 = 0 cdot a + 1 cdot b 3 = 1 cdot a + 0 cdot b

Passo 4

Simplificando as equações, temos:
2 = b 3 = a 2 = b 3 = a
Observamos que as equações para b e a são consistentes:
b = 2 e a = 3

Passo 5

Como encontramos valores de a e b que satisfazem todas as equações, isso significa que:
v3 = 3 cdot v1 + 2 cdot v2
Portanto, o vetor v3 é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.

Resposta

Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente dependentes porque v3 = 3 cdot v1 + 2 cdot v2.

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