Mostre que não existem matrizes quadradas A e B de ordem m, tais que A B-B A=Im

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O problema pede para mostrar que não existem matrizes quadradas e de ordem tais que , onde é a matriz identidade de ordem . Para resolver isso, vamos usar conceitos de traço de matrizes e propriedades comutativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Uma propriedade importante do traço é que ele é invariante sob a comutação, ou seja, para quaisquer matrizes quadradas tr(A B) = tr(B A) e de mesma ordem, temos:
Isso significa que o traço de é igual ao traço de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o traço à equação dada no problema:
A B - B A = Im
Aplicando o traço em ambos os lados:
tr(A B - B A) = tr(Im)
Usando a propriedade do traço que mencionamos:
tr(A B) - tr(B A) = tr(Im)
Como 0 = tr(Im) , a expressão do lado esquerdo se anula:

Passo 4

Agora, vamos calcular o traço da matriz identidade tr(Im) = 1 + 1 + dots + 1 = m . A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Portanto:
0 = m
Assim, a equação fica:
Isso só é possível se , o que não faz sentido para a ordem de uma matriz quadrada.

Resposta

Portanto, não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .

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