Mostre que não existem matrizes quadradas e de ordem , tais que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O problema pede para mostrar que não existem matrizes quadradas e de ordem tais que , onde é a matriz identidade de ordem . Para resolver isso, vamos usar conceitos de traço de matrizes e propriedades comutativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Uma propriedade importante do traço é que ele é invariante sob a comutação, ou seja, para quaisquer matrizes quadradas e de mesma ordem, temos:
Isso significa que o traço de é igual ao traço de .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o traço à equação dada no problema:
Aplicando o traço em ambos os lados:
Usando a propriedade do traço que mencionamos:
Como , a expressão do lado esquerdo se anula:
Passo 4
Agora, vamos calcular o traço da matriz identidade . A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Portanto:
Assim, a equação fica:
Isso só é possível se , o que não faz sentido para a ordem de uma matriz quadrada.
Resposta
Portanto, não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .