Mostre que não existem matrizes quadradas
e
de ordem
, tais que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. O problema pede para mostrar que não existem matrizes quadradas
e
de ordem
tais que
, onde
é a matriz identidade de ordem
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de traço de matrizes e propriedades comutativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Uma propriedade importante do traço é que ele é invariante sob a comutação, ou seja, para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem, temos:
Isso significa que o traço de
é igual ao traço de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o traço à equação dada no problema:
Aplicando o traço em ambos os lados:
Usando a propriedade do traço que mencionamos:
Como
, a expressão do lado esquerdo se anula:
Passo 4
Agora, vamos calcular o traço da matriz identidade
. A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Portanto:
Assim, a equação fica:
Isso só é possível se
, o que não faz sentido para a ordem de uma matriz quadrada.
Resposta
Portanto, não existem matrizes quadradas
e
de ordem
tais que
.