Fixados um domínio compacto
com fronteira regular
,
, e funções suaves
e
, demonstre que a EDP
admite no máximo uma solução
.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma equação diferencial parcial (EDP) envolvendo o Laplaciano
em um domínio compacto
com fronteira regular
no espaço
, onde
vale 2 ou 3. Temos também funções suaves
definidas dentro de
e
na fronteira
. Queremos demostrar que essa EDP possui no máximo uma solução
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como o Laplaciano, condições de contorno e métodos para provar a unicidade de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDP para ficar mais claro:
Aqui,
é o Laplaciano de
, que em coordenadas cartesianas é dado por:
As condições de contorno especificam que o valor de
na fronteira
é dado por
.
Passo 3
Para provar que existe no máximo uma solução, vamos assumir que existem duas soluções diferentes, digamos
e
, que satisfazem a EDP. Nosso objetivo é mostrar que
, o que implica que a solução é única.
Passo 4
Calculamos a diferença entre as duas soluções:
Agora, substituímos
e
na EDP:
Subtraindo as duas equações, temos:
Então, a função
satisfaz:
Passo 5
As condições de contorno para
são:
Então,
é uma função harmônica (
) que é zero na fronteira de
.
Passo 6
Um resultado importante em equações harmônicas é que se uma função harmônica assume o valor zero na fronteira de um domínio compacto com fronteira regular, então ela deve ser identicamente zero em todo o domínio. Isso se baseia no Princípio do Máximo para funções harmônicas.
Passo 7
Aplicando esse resultado, concluímos que
em
. Ou seja:
Resposta
Portanto, a EDP dada admite no máximo uma solução
.