Fixados um domínio compacto com fronteira regular , , e funções suaves e , demonstre que a EDP
admite no máximo uma solução .
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma equação diferencial parcial (EDP) envolvendo o Laplaciano em um domínio compacto com fronteira regular no espaço , onde vale 2 ou 3. Temos também funções suaves definidas dentro de e na fronteira . Queremos demostrar que essa EDP possui no máximo uma solução . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como o Laplaciano, condições de contorno e métodos para provar a unicidade de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDP para ficar mais claro:
Aqui, é o Laplaciano de , que em coordenadas cartesianas é dado por:
As condições de contorno especificam que o valor de na fronteira é dado por .

Passo 3

Para provar que existe no máximo uma solução, vamos assumir que existem duas soluções diferentes, digamos e , que satisfazem a EDP. Nosso objetivo é mostrar que , o que implica que a solução é única.

Passo 4

Calculamos a diferença entre as duas soluções:
Agora, substituímos e na EDP:
Subtraindo as duas equações, temos:
Então, a função satisfaz:

Passo 5

As condições de contorno para são:
Então, é uma função harmônica ( ) que é zero na fronteira de .

Passo 6

Um resultado importante em equações harmônicas é que se uma função harmônica assume o valor zero na fronteira de um domínio compacto com fronteira regular, então ela deve ser identicamente zero em todo o domínio. Isso se baseia no Princípio do Máximo para funções harmônicas.

Passo 7

Aplicando esse resultado, concluímos que em . Ou seja:

Resposta

Portanto, a EDP dada admite no máximo uma solução .

Exercícios relacionados

Suponha que a região sólida e a superfície , orientada pelo campo unitário normal , satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(b) o volume de é dado por
sendo .
Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
© Use as Equações de Cauchy-Riemann para concluir que se é holomorfa, então e são harmônicas, ou seja, vale . Exiba funções harmônicas de duas variáveis a partir de funções holomorfas.
Sugestão: Por fim, no item ©, lembre-se que .
Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em , então valem as identidades
em todos os pontos de .
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados.
Verifique que a função é harmônica não nula e tal que, para todo ponto da circunferência , vale . Por que isso não contradiz o resultado obtido no exercício 7 ? Justifique.