Fixados um domínio compacto Omega com fronteira regular partial Omega em R^n, com n in2,3, e funções suaves phi: Omega R e psi: partial Omega R, demonstre que a EDP
ccc De
admite no máximo uma solução u: Omega R.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma equação diferencial parcial (EDP) envolvendo o Laplaciano De em um domínio compacto Omega com fronteira regular partial Omega no espaço R^n, onde n vale 2 ou 3. Temos também funções suaves phi definidas dentro de Omega e psi na fronteira partial Omega. Queremos demostrar que essa EDP possui no máximo uma solução u: Omega R. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como o Laplaciano, condições de contorno e métodos para provar a unicidade de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDP para ficar mais claro:
De
Aqui, De é o Laplaciano de u, que em coordenadas cartesianas é dado por:
De
As condições de contorno especificam que o valor de u na fronteira partial Omega é dado por psi.

Passo 3

Para provar que existe no máximo uma solução, vamos assumir que existem duas soluções diferentes, digamos u1 e u2, que satisfazem a EDP. Nosso objetivo é mostrar que u1 = u2, o que implica que a solução é única.

Passo 4

Calculamos a diferença entre as duas soluções:
w = u1 - u2
Agora, substituímos u1 e u2 na EDP:
De
Subtraindo as duas equações, temos:
De
Então, a função w satisfaz:
De

Passo 5

As condições de contorno para w são:
w = u1 - u2 = psi - psi = 0 em partial Omega
Então, w é uma função harmônica ( De) que é zero na fronteira de Omega.

Passo 6

Um resultado importante em equações harmônicas é que se uma função harmônica assume o valor zero na fronteira de um domínio compacto com fronteira regular, então ela deve ser identicamente zero em todo o domínio. Isso se baseia no Princípio do Máximo para funções harmônicas.

Passo 7

Aplicando esse resultado, concluímos que w = 0 em Omega. Ou seja:
u1 - u2 = 0 Rightarrow u1 = u2 em Omega

Resposta

Portanto, a EDP dada admite no máximo uma solução u: Omega R.

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