Verifique que a função é harmônica não nula e tal que, para todo ponto da circunferência , vale . Por que isso não contradiz o resultado obtido no exercício 7 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que verificar que a função é harmônica e não nula. Além disso, precisamos mostrar que para todo ponto na circunferência , . E por fim, explicar por que isso não contradiz o que foi visto no exercício 7. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é uma função harmônica e como calcular a Laplaciana de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
Então, nosso primeiro passo é calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e somá-las para ver se dá zero.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, somamos as duas segundas derivadas para calcular a Laplaciana:
Simplificando:
Então, , o que confirma que é harmônica.

Passo 6

Agora, vamos ver se é não nula. A função logarítmica só é zero quando . Então, para , temos:
Isso mostra que apenas nos pontos da circunferência . Fora dessa circunferência, não é zero. Portanto, a função é harmônica e não nula.

Passo 7

Por último, precisamos explicar por que isso não contradiz o resultado do exercício 7. Embora eu não tenha o enunciado do exercício 7, geralmente em teoria das funções harmônicas, há um princípio de unicidade que diz que uma função harmônica que é zero em toda a fronteira de uma região limitada deve ser zero em toda a região. No nosso caso, é zero apenas na circunferência e não em toda a área interior ou exterior. Portanto, não viola o princípio de unicidade, já que a condição de contorno (ser zero) não está sendo aplicada em toda a fronteira de uma região fechada.

Resposta

A função é harmônica e não nula, satisfazendo apenas na circunferência . Isso não contradiz o resultado do exercício 7 porque a condição de ser nula é aplicada apenas em uma circunferência específica, não em toda a fronteira de uma região, mantendo a conformidade com os princípios da teoria das funções harmônicas.

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