Verifique que a função
é harmônica não nula e tal que, para todo ponto
da circunferência
, vale
. Por que isso não contradiz o resultado obtido no exercício 7 ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que verificar que a função
é harmônica e não nula. Além disso, precisamos mostrar que para todo ponto
na circunferência
,
. E por fim, explicar por que isso não contradiz o que foi visto no exercício 7. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é uma função harmônica e como calcular a Laplaciana de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função
é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
Então, nosso primeiro passo é calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, e somá-las para ver se dá zero.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, somamos as duas segundas derivadas para calcular a Laplaciana:
Simplificando:
Então,
, o que confirma que
é harmônica.
Passo 6
Agora, vamos ver se
é não nula. A função logarítmica
só é zero quando
. Então, para
, temos:
Isso mostra que
apenas nos pontos da circunferência
. Fora dessa circunferência,
não é zero. Portanto, a função é harmônica e não nula.
Passo 7
Por último, precisamos explicar por que isso não contradiz o resultado do exercício 7. Embora eu não tenha o enunciado do exercício 7, geralmente em teoria das funções harmônicas, há um princípio de unicidade que diz que uma função harmônica que é zero em toda a fronteira de uma região limitada deve ser zero em toda a região. No nosso caso,
é zero apenas na circunferência
e não em toda a área interior ou exterior. Portanto, não viola o princípio de unicidade, já que a condição de contorno (ser zero) não está sendo aplicada em toda a fronteira de uma região fechada.
Resposta
A função
é harmônica e não nula, satisfazendo
apenas na circunferência
. Isso não contradiz o resultado do exercício 7 porque a condição de ser nula é aplicada apenas em uma circunferência específica, não em toda a fronteira de uma região, mantendo a conformidade com os princípios da teoria das funções harmônicas.
Exercícios relacionados
Seja
o conjunto dos números complexos
um aberto. Uma função
é dita holomorfa em
, quando existe o limite
para todo
.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
é holomorfa em
, então valem as identidades
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se
em todos os pontos de
.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada
Fixados um domínio compacto
com fronteira regular
,
, e funções suaves
e
, demonstre que a EDP
admite no máximo uma solução
.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Sugestão: Utilize o resultado obtido no exercício anterior.
Suponha que a região sólida
e a superfície
, orientada pelo campo unitário normal
, satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência. Demonstre que:
(e) , para quaisquer funções suaves
e
.
(e)
Resolva a EDP a seguir:
(b) .
(b)