Seja C o conjunto dos números complexos ^2 Omega subset C um aberto. Uma função f: Omega C é dita holomorfa em Omega, quando existe o limite
f^prime(a)=lim z a f(z)-f(a)z-a
para todo a in Omega.
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se f(x+i y)=u(x, y)+ i v(x, y) é holomorfa em Omega, então valem as identidades
partial upartial x=partial vpartial y e partial upartial y=-partial vpartial x
em todos os pontos de Omega.
Sugestão: No item (a), calcule a derivada f^prime(a) utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função que é holomorfa em um conjunto aberto do plano complexo. A função é escrita como , onde e são funções reais de duas variáveis. O que a gente precisa mostrar são as Equações de Cauchy-Riemann, que relacionam as derivadas parciais de e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser holomorfa e como calcular a derivada dessa função usando caminhos diferentes no plano complexo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que f^prime(a) = limz a f(z) - f(a)z - a é holomorfa em . Isso quer dizer que a derivada existe para todo ponto em . A definição dada é:
Essa derivada existir implica que o limite é o mesmo independentemente do caminho pelo qual se aproxima de .

Passo 3

Vamos considerar f(z) - f(a) = [u(x, y0) + i v(x, y0)] - [u(x0, y0) + i v(x0, y0)] = [u(x, y0) - u(x0, y0)] + i [v(x, y0) - v(x0, y0)] e calcular a derivada f(z) - f(a)z - a = u(x, y0) - u(x0, y0)x - x0 + i v(x, y0) - v(x0, y0)x - x0 seguindo dois caminhos diferentes: um ao longo do eixo real (mantendo f^prime(a) = partial upartial xg|(x0, y0) + i partial vpartial xg|(x0, y0) ) e outro ao longo do eixo imaginário (mantendo ).
Caminho 1: Aproximando-se de ao longo do eixo real ( )
Aqui, , e se aproxima de . Vamos calcular:
Dividindo por :
Tomando o limite quando :

Passo 4

Caminho 2: Aproximando-se de f(z) - f(a) = [u(x0, y) + i v(x0, y)] - [u(x0, y0) + i v(x0, y0)] = [u(x0, y) - u(x0, y0)] + i [v(x0, y) - v(x0, y0)] ao longo do eixo imaginário ( f(z) - f(a)z - a = u(x0, y) - u(x0, y0)i (y - y0) + i v(x0, y) - v(x0, y0)i (y - y0) = u(x0, y) - u(x0, y0)i (y - y0) + v(x0, y) - v(x0, y0)y - y0 )
Aqui, f^prime(a) = -i partial upartial yg|(x0, y0) + partial vpartial yg|(x0, y0) , e se aproxima de . Vamos calcular:
Dividindo por :
Simplificando e tomando o limite quando :

Passo 5

Como partial upartial x = partial vpartial y é holomorfa, as duas expressões para partial vpartial x = -partial upartial y devem ser iguais. Então, igualamos as partes reais e as partes imaginárias:
Essas são exatamente as Equações de Cauchy-Riemann que precisamos demonstrar!

Resposta

As Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos de partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x :

Exercícios relacionados