Seja o conjunto dos números complexos um aberto. Uma função é dita holomorfa em , quando existe o limite
para todo .
(a) (Equações de Cauchy-Riemann) Mostre que se é holomorfa em , então valem as identidades
em todos os pontos de .
Sugestão: No item (a), calcule a derivada utilizando caminhos paralelos aos eixos coordenados e compare os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função que é holomorfa em um conjunto aberto do plano complexo. A função é escrita como , onde e são funções reais de duas variáveis. O que a gente precisa mostrar são as Equações de Cauchy-Riemann, que relacionam as derivadas parciais de e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser holomorfa e como calcular a derivada dessa função usando caminhos diferentes no plano complexo. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que é holomorfa em . Isso quer dizer que a derivada existe para todo ponto em . A definição dada é:
Essa derivada existir implica que o limite é o mesmo independentemente do caminho pelo qual se aproxima de .
Passo 3
Vamos considerar e calcular a derivada seguindo dois caminhos diferentes: um ao longo do eixo real (mantendo ) e outro ao longo do eixo imaginário (mantendo ).
Caminho 1: Aproximando-se de ao longo do eixo real ()
Aqui, , e se aproxima de . Vamos calcular:
Dividindo por :
Tomando o limite quando :
Passo 4
Caminho 2: Aproximando-se de ao longo do eixo imaginário ()
Aqui, , e se aproxima de . Vamos calcular:
Dividindo por :
Simplificando e tomando o limite quando :
Passo 5
Como é holomorfa, as duas expressões para devem ser iguais. Então, igualamos as partes reais e as partes imaginárias:
Essas são exatamente as Equações de Cauchy-Riemann que precisamos demonstrar!
Resposta
As Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos de :