Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty e^nn^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar se a série sumn=1^infty e^nn^n converge ou não usando o Critério da Raiz. Para isso, precisamos entender como aplicar esse critério e calcular o limite que ele exige.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério da Raiz. Ele funciona assim: para uma série da forma sum an, calculamos o limite limn to infty raiz[n]|an|.
  • Se esse limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o critério não nos dá resposta, e precisamos usar outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
an = e^nn^n

Passo 4

Aplicando o Critério da Raiz, vamos calcular:
limn to infty raiz[n]|e^nn^n|
Como e^n e n^n são positivos para todo n, podemos tirar o valor absoluto sem problemas:
limn to infty en = 0
Isso porque, à medida que n cresce, o denominador n cresce indefinidamente, fazendo com que a fração en se aproxime de zero.

Passo 5

Como o limite que calculamos é 0, que claramente é menor que 1, segundo o Critério da Raiz, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty e^nn^n converge.

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Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
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