Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos analisar se a série converge ou não usando o Critério da Raiz. Para isso, precisamos entender como aplicar esse critério e calcular o limite que ele exige.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério da Raiz. Ele funciona assim: para uma série da forma , calculamos o limite .
Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Se for maior que 1, a série diverge.
Se for igual a 1, o critério não nos dá resposta, e precisamos usar outro método.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, temos:
Passo 4
Aplicando o Critério da Raiz, vamos calcular:
Como e^n e n^n são positivos para todo n, podemos tirar o valor absoluto sem problemas:
limn to infty en = 0
Isso porque, à medida que n cresce, o denominador n cresce indefinidamente, fazendo com que a fração en se aproxime de zero.
Passo 5
Como o limite que calculamos é 0, que claramente é menor que 1, segundo o Critério da Raiz, podemos concluir que a série converge.