Mostre as seguintes identidades: c div(ϕ f) = ϕ div(f) + ∇ϕ · f

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma identidade envolvendo divergência, gradiente e produto de funções. O enunciado diz:
Aqui, phi é uma função escalar e f é um campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar as regras do cálculo vetorial, especificamente a regra do produto para divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Ou seja, é a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de . Primeiro, multiplicamos a função escalar phi por cada componente do vetor f:

Passo 4

Aplicando a definição de divergência em :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto para cada derivada parcial. Lembrando que , onde representa a variável correspondente ( x, y, z):

Passo 6

Observando a expressão, percebemos que:
E:

Passo 7

Substituindo essas igualdades na expressão anterior, temos:

Resposta

Provamos que:

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Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty e^nn^n
SENDO z = (x^2 + y) * e^x DETERMINE
c) x z x + z y
Fixe um número real a>0 e considere a série sumn=1^infty 1a^ln (n). Para quais valores de a esta série é convergente? (Sugestão: note que a^ln n=e^(ln a)(ln n)=n^ln a.)
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty e^n^2n^n