Mostre as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma identidade envolvendo divergência, gradiente e produto de funções. O enunciado diz:
Aqui,
é uma função escalar e
é um campo vetorial. Para resolver isso, vamos usar as regras do cálculo vetorial, especificamente a regra do produto para divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Ou seja, é a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
. Primeiro, multiplicamos a função escalar
por cada componente do vetor
:
Passo 4
Aplicando a definição de divergência em
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto para cada derivada parcial. Lembrando que
, onde
representa a variável correspondente (
,
,
):
Passo 6
Observando a expressão, percebemos que:
E:
Passo 7
Substituindo essas igualdades na expressão anterior, temos:
Resposta
Provamos que:
Exercícios relacionados
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
SENDO
DETERMINE
c)
c)
Fixe um número real
e considere a série
. Para quais valores de
esta série é convergente? (Sugestão: note que
.)
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries: