[FLEMMING / Adaptada] Uma região
é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Qual a razão da expansão da epidemia no tempo
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre uma epidemia numa região chamada
. O número de pessoas afetadas pela doença após
dias é dado pela função:
O que precisamos descobrir é a razão da expansão da epidemia no tempo
. Isso significa que queremos saber quão rápido o número de pessoas afetadas está mudando no dia 8. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivada. Derivada nos dá a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. No nosso caso, a variável é o tempo
, e a função é
. A derivada de
em relação a
nos dirá quão rápido o número de pessoas afetadas está aumentando ou diminuindo em cada instante de tempo.
Passo 3
Então, vamos calcular a derivada de
. A função que temos é:
Para derivar essa função, aplicamos as regras básicas de derivação:
- A derivada de
, onde é uma constante, é simplesmente . - A derivada de
é .
Aplicando essas regras:
- A derivada de
é . - A derivada de
é , que simplifica para .
Então, a derivada de
, que vamos chamar de
, é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a derivada, podemos encontrar a razão da expansão da epidemia no tempo
. Basta substituir
por
na expressão de
:
Resposta
A razão da expansão da epidemia no tempo
é 0.