[FLEMMING / Adaptada] Uma região X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
N(t) = 64 t - t^3 / 3
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre uma epidemia numa região chamada X. O número de pessoas afetadas pela doença após t dias é dado pela função:
O que precisamos descobrir é a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8. Isso significa que queremos saber quão rápido o número de pessoas afetadas está mudando no dia 8. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a derivada da função N(t).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada. Derivada nos dá a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. No nosso caso, a variável é o tempo t, e a função é N(t). A derivada de N(t) em relação a t nos dirá quão rápido o número de pessoas afetadas está aumentando ou diminuindo em cada instante de tempo.

Passo 3

Então, vamos calcular a derivada de N(t). A função que temos é:
Para derivar essa função, aplicamos as regras básicas de derivação:
  • A derivada de , onde k é uma constante, é simplesmente k.
  • A derivada de t^n é .
Aplicando essas regras:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é , que simplifica para .
Então, a derivada de N(t), que vamos chamar de , é:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a derivada, podemos encontrar a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8. Basta substituir t por na expressão de :

Resposta

A razão da expansão da epidemia no tempo t = 8 é 0.

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