[FLEMMING / Adaptada] Uma região é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Qual a razão da expansão da epidemia no tempo ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre uma epidemia numa região chamada . O número de pessoas afetadas pela doença após dias é dado pela função:
O que precisamos descobrir é a razão da expansão da epidemia no tempo . Isso significa que queremos saber quão rápido o número de pessoas afetadas está mudando no dia 8. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada. Derivada nos dá a taxa de variação de uma função em relação a uma variável. No nosso caso, a variável é o tempo , e a função é . A derivada de em relação a nos dirá quão rápido o número de pessoas afetadas está aumentando ou diminuindo em cada instante de tempo.

Passo 3

Então, vamos calcular a derivada de . A função que temos é:
Para derivar essa função, aplicamos as regras básicas de derivação:
  • A derivada de , onde é uma constante, é simplesmente .
  • A derivada de é .
Aplicando essas regras:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é , que simplifica para .
Então, a derivada de , que vamos chamar de , é:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a derivada, podemos encontrar a razão da expansão da epidemia no tempo . Basta substituir por na expressão de :

Resposta

A razão da expansão da epidemia no tempo é 0.

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A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de horas, a colônia terá a população que obedece a lei: . Qual o número de bactérias depois de 10 horas?
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A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de horas, a colônia terá a população que obedece a lei: . Encontre a lei que dá a variação da população em relação ao tempo .
[FLEMMING / Adaptada] Uma região é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Quantas pessoas são atingidas pela epidemia em 8 dias?