A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de horas, a colônia terá a população que obedece a lei: . Encontre a lei que dá a variação da população em relação ao tempo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma colônia de bactérias que começa com 10.000 indivíduos. Depois de horas, a população cresce de acordo com a fórmula . O que a gente precisa descobrir aqui é a "lei que dá a variação da população em relação ao tempo ". Isso quer dizer que precisamos encontrar como a população está mudando ao longo do tempo, ou seja, vamos calcular a taxa de variação da população em relação ao tempo usando derivadas, que é um conceito de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que quando queremos saber como uma função está mudando em relação a uma variável, a gente calcula a derivada dessa função em relação a essa variável. No caso, a função é e a variável é .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da derivada para funções exponenciais. A fórmula básica é: se temos uma função da forma , onde e são constantes, a derivada de em relação a é . Aqui, representa o logaritmo natural.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, onde e , temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para deixar mais clara. A derivada representa a taxa de variação da população em relação ao tempo. Podemos escrever:

Resposta

A lei que dá a variação da população em relação ao tempo é:

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A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Qual a razão da expansão da epidemia no tempo ?
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