A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de t horas, a colônia terá a população P(t) que obedece a lei: P(t) = 10000 * (1.2)^t. Encontre a lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma colônia de bactérias que começa com 10.000 indivíduos. Depois de t horas, a população cresce de acordo com a fórmula . O que a gente precisa descobrir aqui é a "lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t". Isso quer dizer que precisamos encontrar como a população está mudando ao longo do tempo, ou seja, vamos calcular a taxa de variação da população em relação ao tempo usando derivadas, que é um conceito de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que quando queremos saber como uma função está mudando em relação a uma variável, a gente calcula a derivada dessa função em relação a essa variável. No caso, a função é e a variável é t.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da derivada para funções exponenciais. A fórmula básica é: se temos uma função da forma , onde a e b são constantes, a derivada de f em relação a t é . Aqui, ln representa o logaritmo natural.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, onde e , temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para deixar mais clara. A derivada representa a taxa de variação da população em relação ao tempo. Podemos escrever:

Resposta

A lei que dá a variação da população P em relação ao tempo t é:

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