A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de
horas, a colônia terá a população
que obedece a lei:
. Encontre a lei que dá a variação da população
em relação ao tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma colônia de bactérias que começa com 10.000 indivíduos. Depois de
horas, a população cresce de acordo com a fórmula
. O que a gente precisa descobrir aqui é a "lei que dá a variação da população
em relação ao tempo
". Isso quer dizer que precisamos encontrar como a população está mudando ao longo do tempo, ou seja, vamos calcular a taxa de variação da população em relação ao tempo usando derivadas, que é um conceito de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que quando queremos saber como uma função está mudando em relação a uma variável, a gente calcula a derivada dessa função em relação a essa variável. No caso, a função é
e a variável é
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da derivada para funções exponenciais. A fórmula básica é: se temos uma função da forma
, onde
e
são constantes, a derivada de
em relação a
é
. Aqui,
representa o logaritmo natural.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função, onde
e
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão para deixar mais clara. A derivada
representa a taxa de variação da população em relação ao tempo. Podemos escrever:
Resposta
A lei que dá a variação da população
em relação ao tempo
é: