[FLEMMING / Adaptada] Uma região
é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Qual a razão da expansão da epidemia no tempo
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma epidemia que atinge uma região
. A função que descreve o número de pessoas atingidas após
dias é dada por:
A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a razão da expansão da epidemia no tempo
. Isso significa que queremos saber quão rápido o número de pessoas afetadas está aumentando exatamente no quarto dia.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a razão da expansão. Em termos de cálculo, isso se refere à derivada da função
em relação ao tempo
. A derivada nos dá a taxa de variação instantânea da função, ou seja, quão rápido
está mudando em um ponto específico.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A função é:
Aplicando as regras de derivação:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a razão da expansão no tempo
. Substituímos
por 4 na derivada que encontramos:
Resposta
A razão da expansão da epidemia no tempo
é 48 pessoas por dia.
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(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Quantas pessoas são atingidas pela epidemia em 8 dias?
A população inicial de uma colônia de bactérias é 10.000. Depois de
horas, a colônia terá a população
que obedece a lei:
. Encontre a lei que dá a variação da população
em relação ao tempo
.
[Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de Júpiter é
, com
em metros e
em segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um penhasco de 300 m de altura. Determine a velocidade
, quando
.
Uma partícula se move segundo a equação
, sendo
medido em metros e
em segundos. Em que instante a sua velocidade vale
?