[FLEMMING / Adaptada] Uma região X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
N(t) = 64 t - t^3 / 3
A representação gráfica desse fenômeno se encontra ao lado. Pergunta-se: Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma epidemia que atinge uma região . A função que descreve o número de pessoas atingidas após dias é dada por:
A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a razão da expansão da epidemia no tempo . Isso significa que queremos saber quão rápido o número de pessoas afetadas está aumentando exatamente no quarto dia.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a razão da expansão. Em termos de cálculo, isso se refere à derivada da função em relação ao tempo . A derivada nos dá a taxa de variação instantânea da função, ou seja, quão rápido está mudando em um ponto específico.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A função é:
Aplicando as regras de derivação:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a razão da expansão no tempo . Substituímos por 4 na derivada que encontramos:

Resposta

A razão da expansão da epidemia no tempo é 48 pessoas por dia.

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